학습 목표

• 직각삼각형의 세 변 사이의 관계를 이해할 수 있다.
• 피타고라스의 정리를 설명하고 활용할 수 있다.
• 피타고라스의 정리를 이용하여 변의 길이를 구할 수 있다.
• 실생활 문제를 해결할 수 있다.

피타고라스의 정리는 중학교 도형 단원에서 가장 중요한 정리 중 하나이며, 이후 고등학교 삼각비 학습의 기초가 된다.

1. 직각삼각형 알아보기

직각삼각형이란?

한 각의 크기가 90°인 삼각형을 직각삼각형이라고 한다.

직각삼각형의 변의 이름은 다음과 같다.

• 직각을 사이에 둔 두 변 → 직각변
• 직각의 맞은편 변 → 빗변

예를 들어 직각삼각형 ABC에서,

• ∠A = 90°
• AC = a (직각변)
• AB = b (직각변)
• BC = c (빗변)

라고 하자.

2. 피타고라스의 정리

피타고라스의 정리

직각삼각형에서 빗변의 제곱은 나머지 두 직각변의 제곱의 합과 같다.

수식으로 나타내면 다음과 같다.

a2+b2=c2a^2+b^2=c^2a2+b2=c2

즉,

(직각변)² + (직각변)² = (빗변)²

이다.

3. 피타고라스의 정리가 성립하는 이유

직각삼각형의 세 변 위에 각각 정사각형을 만든다고 생각해 보자.

• 한 직각변 위 정사각형의 넓이: a2a^2a2
• 다른 직각변 위 정사각형의 넓이: b2b^2b2
• 빗변 위 정사각형의 넓이: c2c^2c2

피타고라스의 정리는

두 작은 정사각형의 넓이의 합이 큰 정사각형의 넓이와 같다는 뜻이다.

즉,

a2+b2=c2a^2+b^2=c^2a2+b2=c2

이다.

4. 변의 길이 구하기

예제 1

직각변의 길이가 3 cm, 4 cm일 때 빗변의 길이를 구하여라.

풀이

32+42=c23^2+4^2=c^232+42=c2 $$9+16=25$$ c2=25c^2=25c2=25 $$c=5$$

따라서,

빗변의 길이는 5 cm이다.

예제 2

빗변의 길이가 13 cm이고 다른 한 직각변의 길이가 5 cm일 때 나머지 직각변의 길이를 구하여라.

풀이

a2+52=132a^2+5^2=13^2a2+52=132 a2+25=169a^2+25=169a2+25=169 a2=144a^2=144a2=144 $$a=12$$

따라서,

나머지 직각변의 길이는 12 cm이다.

5. 자주 등장하는 직각삼각형

다음 세 수는 시험에 자주 출제된다.

이러한 세 수를 피타고라스 수라고 한다.

암기해 두면 계산 시간을 줄일 수 있다.

6. 실생활 속 피타고라스의 정리

사다리 문제

벽에 기대어 놓은 사다리의 길이가 10 m이고, 사다리 밑부분이 벽에서 6 m 떨어져 있다.

벽에 닿은 높이는 얼마일까?

풀이

높이를 $h$라고 하면,

62+h2=1026^2+h^2=10^262+h2=102 36+h2=10036+h^2=10036+h2=100 h2=64h^2=64h2=64 $$h=8$$

따라서,

사다리가 닿는 높이는 8 m이다.

활용 분야

피타고라스의 정리는 다양한 분야에서 활용된다.

• 건축물의 길이 측정
• 계단과 경사로 설계
• 토지 측량
• 지도 제작
• 컴퓨터 그래픽스
• GPS 위치 계산

7. 피타고라스의 정리의 역

정리의 역

어떤 삼각형의 세 변의 길이가 $a$, $b$, $c$이고 가장 긴 변을 $c$라 할 때,

a2+b2=c2a^2+b^2=c^2a2+b2=c2

가 성립하면 그 삼각형은 직각삼각형이다.

예제

세 변의 길이가 6 cm, 8 cm, 10 cm인 삼각형은 직각삼각형일까?

풀이

62+82=36+64=1006^2+8^2=36+64=10062+82=36+64=100 102=10010^2=100102=100

두 값이 같으므로,

이 삼각형은 직각삼각형이다.

확인 문제

문제 1

직각변의 길이가 8 cm, 15 cm인 직각삼각형의 빗변의 길이를 구하여라.

정답

82+152=64+225=2898^2+15^2=64+225=28982+152=64+225=289 $$c=17$$

정답: 17 cm

문제 2

빗변의 길이가 25 cm, 한 직각변의 길이가 24 cm일 때 다른 직각변의 길이를 구하여라.

정답

a2+242=252a^2+24^2=25^2a2+242=252 a2=49a^2=49a2=49 $$a=7$$

정답: 7 cm

문제 3

세 변의 길이가 9 cm, 12 cm, 15 cm인 삼각형은 직각삼각형인지 판별하여라.

정답

92+122=81+144=2259^2+12^2=81+144=22592+122=81+144=225 152=22515^2=225152=225

따라서 직각삼각형이다.

정리

• 직각삼각형에서 빗변의 제곱은 두 직각변의 제곱의 합과 같다.
• 피타고라스의 정리는  a2+b2=c2 \,a^2+b^2=c^2\,a2+b2=c2로 나타낸다.
• 직각삼각형의 변의 길이를 구할 수 있다.
• 정리의 역을 이용하여 직각삼각형인지 판별할 수 있다.
• 건축, 측량, 공학 등 다양한 실생활 문제 해결에 활용된다.

2022 개정 교육과정에서는 피타고라스의 정리를 단순 암기가 아닌 이해와 적용 중심으로 학습하며, 다양한 실제 상황 속 문제 해결 능력을 기르는 데 중점을 둔다.