중학교 3학년 2학기 (2022 개정 교육과정)

도형 – 삼각비의 활용

학습 목표

• 삼각비를 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있다.

• 높이와 거리를 삼각비를 이용하여 구할 수 있다.

• 상황을 직각삼각형으로 모델링하여 수학적으로 해석할 수 있다.

• 삼각비가 다양한 분야에서 활용됨을 이해할 수 있다.

삼각비는 직접 측정하기 어려운 거리나 높이를 계산할 수 있게 해 주는 유용한 도구이다. 건축, 측량, 항공, GPS 등 다양한 분야에서 활용되고 있다.

1. 삼각비의 활용이란?

실생활에서는 건물의 높이, 나무의 높이, 강의 폭 등 직접 측정하기 어려운 길이를 알아야 하는 경우가 많다.

이러한 상황을 직각삼각형으로 나타내고 삼각비를 이용하면 필요한 길이를 쉽게 구할 수 있다.

삼각비 활용 문제를 해결하는 과정은 다음과 같다.

1. 문제 상황을 직각삼각형으로 나타낸다.

2. 기준각을 정한다.

3. 필요한 삼각비를 선택한다.

4. 식을 세우고 미지의 값을 구한다.

2. 건물의 높이 구하기

예제 1

건물에서 20 m 떨어진 지점에서 건물 꼭대기를 올려다보았더니 올려다본 각의 크기가 45°였다.

건물의 높이를 구하여라.

풀이

건물의 높이를 $$$$h$$$$ m라고 하자.

밑변은 20 m이고, 기준각은 45°이다.

탄젠트를 이용하면,

$$$$
\tan 45^\circ=\frac{h}{20}
$$$$

$$$$
1=\frac{h}{20}
$$$$

$$$$
h=20
$$$$

따라서,

건물의 높이는 20 m이다.

3. 나무의 높이 구하기

예제 2

어떤 나무에서 10 m 떨어진 지점에서 나무 꼭대기를 바라본 각이 60°였다.

나무의 높이를 구하여라.

풀이

나무의 높이를 $$$$h$$$$ m라고 하자.

탄젠트를 이용하면,

$$$$
\tan 60^\circ=\frac{h}{10}
$$$$

$$$$
\sqrt{3}=\frac{h}{10}
$$$$

$$$$
h=10\sqrt{3}
$$$$

따라서,

나무의 높이는 $$$$10\sqrt{3}$$$$ m이다.

4. 사다리 문제

예제 3

길이가 8 m인 사다리를 벽에 기대어 놓았다.

사다리와 바닥이 이루는 각의 크기가 30°일 때, 사다리가 벽에 닿는 높이를 구하여라.

풀이

사다리의 길이는 빗변이다.

높이를 $$$$h$$$$ m라고 하면,

사인을 이용하여,

$$$$
\sin 30^\circ=\frac{h}{8}
$$$$

$$$$
\frac{1}{2}=\frac{h}{8}
$$$$

$$$$
h=4
$$$$

따라서,

사다리가 벽에 닿는 높이는 4 m이다.

5. 강의 폭 구하기

예제 4

강 건너편의 한 지점을 바라보았더니 시선과 강변이 이루는 각이 60°였다.

강변을 따라 15 m 이동한 후 다시 측정하였을 때 직각삼각형이 만들어졌다고 하자.

강의 폭을 구하여라.

풀이

강의 폭을 $$$$x$$$$ m라고 하자.

탄젠트를 이용하면,

$$$$
\tan 60^\circ=\frac{x}{15}
$$$$

$$$$
\sqrt{3}=\frac{x}{15}
$$$$

$$$$
x=15\sqrt{3}
$$$$

따라서,

강의 폭은 $$$$15\sqrt{3}$$$$ m이다.

6. 비행기의 고도 구하기

예제 5

비행기를 바라보는 고도가 45°이고, 관찰 지점에서 비행기 바로 아래 지점까지의 수평거리가 500 m일 때 비행기의 고도를 구하여라.

풀이

비행기의 고도를 $$$$h$$$$ m라고 하면,

$$$$
\tan 45^\circ=\frac{h}{500}
$$$$

$$$$
1=\frac{h}{500}
$$$$

$$$$
h=500
$$$$

따라서,

비행기의 고도는 500 m이다.

7. 삼각비가 활용되는 분야

삼각비는 우리 생활의 다양한 분야에서 사용된다.

• 건물과 구조물의 높이 측정

• 토지 측량 및 지도 제작

• 다리와 터널 설계

• 항공기와 선박의 위치 계산

• GPS 위치 추적

• 컴퓨터 그래픽스와 게임 개발

• 로봇 공학 및 자동화 시스템

삼각비는 눈으로 직접 측정하기 어려운 거리와 높이를 계산할 수 있게 해 주는 중요한 수학적 도구이다.

확인 문제

문제 1

어떤 건물에서 12 m 떨어진 곳에서 건물 꼭대기를 올려다본 각이 45°였다.

건물의 높이를 구하여라.

정답

$$$$
\tan 45^\circ=\frac{h}{12}
$$$$

$$$$
1=\frac{h}{12}
$$$$

$$$$
h=12
$$$$

정답: 12 m

문제 2

길이가 20 m인 사다리를 벽에 기대어 놓았을 때 바닥과 사다리가 이루는 각이 30°였다.

사다리가 닿는 높이를 구하여라.

정답

$$$$
\sin 30^\circ=\frac{h}{20}
$$$$

$$$$
\frac{1}{2}=\frac{h}{20}
$$$$

$$$$
h=10
$$$$

정답: 10 m

문제 3

나무에서 5 m 떨어진 지점에서 나무 꼭대기를 올려다본 각이 60°였다.

나무의 높이를 구하여라.

정답

$$$$
\tan 60^\circ=\frac{h}{5}
$$$$

$$$$
\sqrt{3}=\frac{h}{5}
$$$$

$$$$
h=5\sqrt{3}
$$$$

정답: $$$$5\sqrt{3}$$$$ m

정리

• 삼각비를 이용하면 직접 측정하기 어려운 길이를 구할 수 있다.

• 상황을 직각삼각형으로 나타내고 적절한 삼각비를 선택해야 한다.

사인을 이용하는 경우

$$$$
\sin \theta=\frac{높이}{빗변}
$$$$

코사인을 이용하는 경우

$$$$
\cos \theta=\frac{밑변}{빗변}
$$$$

탄젠트를 이용하는 경우

$$$$
\tan \theta=\frac{높이}{밑변}
$$$$

• 삼각비는 건축, 측량, 항공, 공학 등 다양한 분야에서 활용된다.

삼각비의 활용을 익히면 실제 생활 속 문제를 수학적으로 해석하고 해결하는 능력을 기를 수 있으며, 고등학교 수학 학습의 중요한 기초를 다질 수 있다.