중학교 3학년 2학기 (2022 개정 교육과정)

도형 – 삼각비

학습 목표

• 삼각비의 뜻을 이해할 수 있다.

• 직각삼각형에서 사인(sin), 코사인(cos), 탄젠트(tan)를 구할 수 있다.

• 삼각비를 이용하여 변의 길이나 각의 크기를 구할 수 있다.

• 삼각비를 실생활 문제 해결에 활용할 수 있다.

삼각비는 직각삼각형의 변의 길이 사이의 비를 이용하여 도형을 분석하는 방법으로, 건축·측량·공학 등 다양한 분야에서 활용된다.

1. 삼각비란?

삼각비의 의미

직각삼각형에서 한 예각의 크기가 정해지면 세 변의 길이의 비는 항상 일정하다.

이처럼 직각삼각형에서 한 예각에 대한 변의 길이의 비를 삼각비라고 한다.

삼각비에는 다음 세 가지가 있다.

• 사인(sin)

• 코사인(cos)

• 탄젠트(tan)

2. 직각삼각형의 변의 이름

직각삼각형 ABC에서

• ∠C = 90°

• 기준각을 ∠A라고 하자.

각 ∠A를 기준으로 하면,

• 빗변 : 직각의 맞은편 변

• 높이 : 기준각의 맞은편 변

• 밑변 : 기준각과 접한 직각변

즉,

• 높이 → 기준각의 맞은편

• 밑변 → 기준각 옆의 직각변

• 빗변 → 가장 긴 변

3. 사인(sin)

사인의 뜻

사인은 기준각의 맞은편 변의 길이를 빗변의 길이로 나눈 값이다.

수식으로 나타내면,

$$\sin \theta = \frac{높이}{빗변}$$

즉,

사인 = 높이 ÷ 빗변

예제 1

어떤 직각삼각형에서 기준각이 (\theta)이고,

• 높이 = 3

• 빗변 = 5

일 때,

$$\sin \theta=\frac{3}{5}$$

따라서,

$$\sin \theta=\frac{3}{5}$$ 이다.

4. 코사인(cos)

코사인의 뜻

코사인은 기준각과 접한 직각변의 길이를 빗변의 길이로 나눈 값이다.

수식으로 나타내면,

$$\cos \theta=\frac{밑변}{빗변}$$

즉,

코사인 = 밑변 ÷ 빗변

예제 2

기준각이 (\theta)인 직각삼각형에서

• 밑변 = 4

• 빗변 = 5

일 때,

$$\cos \theta=\frac{4}{5}$$

따라서,

$$\cos \theta=\frac{4}{5}$$ 이다.

5. 탄젠트(tan)

탄젠트의 뜻

탄젠트는 기준각의 맞은편 변의 길이를 기준각과 접한 직각변의 길이로 나눈 값이다.

수식으로 나타내면,

$$\tan \theta=\frac{높이}{밑변}$$

즉,

탄젠트 = 높이 ÷ 밑변

예제 3

기준각이 (\theta)인 직각삼각형에서

• 높이 = 3

• 밑변 = 4

일 때,

$$\tan \theta=\frac{3}{4}$$

따라서,

$$\tan \theta=\frac{3}{4}$$ 이다.

6. 30°, 45°, 60°의 삼각비

중학교 과정에서는 자주 사용되는 삼각비 값을 알아두면 계산에 도움이 된다.

위의 값들은 삼각비 문제에서 매우 자주 사용된다.

7. 삼각비를 이용한 길이 구하기

예제 4

한 직각삼각형에서 기준각이 30°이고 빗변의 길이가 10 cm일 때, 높이를 구하여라.

풀이

사인을 이용하면,

$$\sin 30^\circ=\frac{높이}{10}$$

$$\frac{1}{2}=\frac{높이}{10}$$

$$높이=5$$

따라서,

높이는 5 cm이다.

8. 삼각비의 활용

삼각비는 다양한 실생활 문제 해결에 사용된다.

• 건물의 높이 측정

• 나무의 높이 구하기

• 산의 높이 측정

• 토지 측량

• 항공기의 이동 거리 계산

• 건축 구조 설계

• GPS 위치 계산

예제 5

어떤 건물을 바라보는 각이 45°이고, 건물과 관찰자 사이의 거리가 20 m이다.

건물의 높이를 구하여라.

풀이

탄젠트를 이용하면,

$$\tan 45^\circ=\frac{건물의\ 높이}{20}$$

$$1=\frac{건물의\ 높이}{20}$$

$$건물의\ 높이=20$$

따라서,

건물의 높이는 20 m이다.

확인 문제

문제 1

높이가 6, 빗변이 10인 직각삼각형에서

$$\sin \theta$$

의 값을 구하여라.

정답

$$\sin \theta=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$$

정답: $$\frac{3}{5}$$

문제 2

밑변이 8, 빗변이 10인 직각삼각형에서

$$\cos \theta$$

의 값을 구하여라.

정답

$$\cos \theta=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$$

정답: $$\frac{4}{5}$$

문제 3

높이가 12, 밑변이 5인 직각삼각형에서

$$\tan \theta$$

의 값을 구하여라.

정답

$$\tan \theta=\frac{12}{5}$$

정답: $$\frac{12}{5}$$

정리

• 삼각비는 직각삼각형의 변의 길이의 비를 나타낸다.

• 사인, 코사인, 탄젠트의 정의는 다음과 같다.

$$\sin \theta=\frac{높이}{빗변}$$

$$\cos \theta=\frac{밑변}{빗변}$$

$$\tan \theta=\frac{높이}{밑변}$$

• 삼각비를 이용하면 변의 길이와 각의 크기를 구할 수 있다.

• 삼각비는 측량, 건축, 공학 등 다양한 분야에서 활용된다.

삼각비는 직각삼각형의 성질을 활용하여 눈으로 직접 측정하기 어려운 거리와 높이를 구할 수 있게 해 주는 중요한 수학적 도구이다.