공통수학(2022 개정 교육과정) : 평면좌표 – 두 점 사이의 거리

학습 목표

• 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 구할 수 있다.

• 두 점 사이의 거리 공식을 피타고라스 정리를 이용하여 유도할 수 있다.

• 거리 공식을 다양한 문제에 적용할 수 있다.

• 좌표와 도형의 관계를 이해할 수 있다.

1. 두 점 사이의 거리

좌표평면 위의 두 점

$$
A(x_1,y_1), \quad B(x_2,y_2)
$$

를 연결한 선분 (AB)의 길이를 두 점 사이의 거리라고 한다.

예를 들어 집의 위치가 $(1,2)$, 학교의 위치가 $(4,6)$이라면 집에서 학교까지의 직선거리가 바로 두 점 사이의 거리이다.

2. 거리 공식의 유도

두 점

$$
A(x_1,y_1), \quad B(x_2,y_2)
$$

를 생각해 보자.

점 (A)에서 점 (B)까지 수평선과 수직선을 그으면 직각삼각형이 만들어진다.

가로 길이는

$$
|x_2-x_1|
$$

세로 길이는

$$
|y_2-y_1|
$$

이다.

피타고라스 정리를 적용하면

$$
AB^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2
$$

따라서 두 점 사이의 거리는

$$
AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
$$

이다.

두 점 사이의 거리 공식

점

$$
A(x_1,y_1),\quad B(x_2,y_2)
$$

사이의 거리는

$$
AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
$$

이다.

3. 특수한 경우

(1) 두 점의 (x)좌표가 같은 경우

점

$$
A(a,b),\quad B(a,c)
$$

라면 세로 방향으로만 떨어져 있으므로

$$
AB=|c-b|
$$

이다.

예를 들어,

$$
A(2,1),\quad B(2,7)
$$

이면

$$
AB=|7-1|=6
$$

이다.

(2) 두 점의 (y)좌표가 같은 경우

점

$$
A(a,b),\quad B(c,b)
$$

라면 가로 방향으로만 떨어져 있으므로

$$
AB=|c-a|
$$

이다.

예를 들어,

$$
A(-3,4),\quad B(5,4)
$$

이면

$$
AB=|5-(-3)|=8
$$

이다.

4. 예제 1

문제

두 점

$$
A(1,2),\quad B(4,6)
$$

사이의 거리를 구하여라.

풀이

거리 공식에 대입하면

$$
AB=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}
$$

$$
=\sqrt{3^2+4^2}
$$

$$
=\sqrt{9+16}
$$

$$
=\sqrt{25}
$$

$$
=5
$$

따라서

$$
\boxed{AB=5}
$$

이다.

5. 예제 2

문제

두 점

$$
A(-2,3),\quad B(4,-5)
$$

사이의 거리를 구하여라.

풀이

$$
AB=\sqrt{(4-(-2))^2+(-5-3)^2}
$$

$$
=\sqrt{6^2+(-8)^2}
$$

$$
=\sqrt{36+64}
$$

$$
=\sqrt{100}
$$

$$
=10
$$

따라서

$$
\boxed{AB=10}
$$

이다.

6. 예제 3

문제

점 $(1,2)$와의 거리가 10인 점 $(7,y)$의 좌표를 구하여라.

풀이

거리 공식을 이용하면

$$
10=\sqrt{(7-1)^2+(y-2)^2}
$$

양변을 제곱하면

$$
100=36+(y-2)^2
$$

$$
(y-2)^2=64
$$

$$
y-2=\pm8
$$

따라서

$$
y=10
$$

또는

$$
y=-6
$$

이다.

따라서 구하는 점의 좌표는

$$
\boxed{(7,10),\ (7,-6)}
$$

이다.

7. 실생활 활용

두 점 사이의 거리 공식은 다양한 분야에서 활용된다.

• 내비게이션 : 지도 위 두 위치 사이의 직선거리 계산

• 컴퓨터 그래픽스 : 물체의 이동 거리 및 충돌 판정

• 게임 프로그래밍 : 캐릭터 간 거리 계산

• 건축 및 공학 : 도면상의 길이 측정

8. 학습 정리

① 두 점 사이의 거리 공식

$$
AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
$$

② 거리 공식은 피타고라스 정리로부터 유도된다.

③ 같은 (x)좌표를 가지면 거리

$$
|y_2-y_1|
$$

④ 같은 (y)좌표를 가지면 거리

$$
|x_2-x_1|
$$

9. 확인 문제

문제 1

두 점

$$
A(3,1),\quad B(7,4)
$$

사이의 거리를 구하여라.

문제 2

두 점

$$
A(-1,-2),\quad B(5,6)
$$

사이의 거리를 구하여라.

문제 3

점 $(2,3)$과의 거리가 5인 점 중 (x=5)를 만족하는 점의 좌표를 모두 구하여라.

정답

$$
\boxed{5}
$$

$$
\boxed{10}
$$

$$
\boxed{(5,7),\ (5,-1)}
$$

마무리

두 점 사이의 거리 공식은 단순히 암기해야 하는 공식이 아니라, 피타고라스 정리를 좌표평면에 적용한 결과이다. 이 공식은 이후 배우게 될 원의 방정식, 선분의 내분과 외분, 도형의 성질 등 다양한 단원의 기초가 되므로 공식의 유도 과정까지 정확히 이해하는 것이 중요하다.