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함수의 뜻을 이해할 수 있다.
함수와 함수가 아닌 관계를 구별할 수 있다.
정의역, 공역, 치역의 의미를 설명할 수 있다.
함수의 값을 구할 수 있다.
함수의 그래프를 좌표평면에 나타낼 수 있다.
그래프를 이용하여 함수의 성질을 파악할 수 있다.
우리는 일상생활에서 하나의 값이 다른 값에 따라 정해지는 관계를 자주 접한다.
예를 들어,
상품의 개수에 따라 총 가격이 결정된다.
이동한 시간에 따라 이동 거리가 달라진다.
섭씨온도에 따라 화씨온도가 정해진다.
이처럼 두 양 사이의 일정한 대응 관계를 수학적으로 표현한 것이 함수이다.
함수
한 집합의 각 원소에 대하여 다른 집합의 원소가 오직 하나씩 대응될 때, 이러한 대응을 함수라고 한다.
집합
$$
A
$$
의 원소 각각에 대하여 집합
$$
B
$$
의 원소가 단 하나씩 대응될 때,
이 대응을 집합
$$
A
$$
에서 집합
$$
B
$$
로의 함수라고 한다.
이를 기호로
$$
f:A\rightarrow B
$$
라고 나타낸다.
읽는 방법은
“(f)는 집합 (A)에서 집합 (B)로의 함수이다.”
이다.
함수가 되기 위해서는 다음 두 가지 조건을 만족해야 한다.
집합
$$
A
$$
의 모든 원소가 반드시 대응되어야 한다.
집합
$$
A
$$
의 한 원소가 집합
$$
B
$$
의 두 개 이상의 원소에 대응되면 함수가 아니다.
함수의 조건
정의역의 모든 원소가 대응되어야 한다.
하나의 원소는 오직 하나의 원소에 대응되어야 한다.
함수
$$
f:A\rightarrow B
$$
에서,
집합 (A)를 정의역
집합 (B)를 공역
실제로 대응되는 값들의 집합을 치역
이라고 한다.
정의역
입력값들의 집합
공역
출력값이 포함되는 전체 집합
치역
실제 출력값들의 집합
함수
$$
f:A\rightarrow B
$$
가 다음과 같다고 하자.
$$
A={1,2,3}
$$
$$
B={a,b,c,d}
$$
대응 관계가
$$
1\rightarrow a
$$
$$
2\rightarrow c
$$
$$
3\rightarrow c
$$
일 때,
정의역은
$$
A={1,2,3}
$$
공역은
$$
B={a,b,c,d}
$$
치역은
$$
{a,c}
$$
이다.
함수는 여러 가지 방법으로 나타낼 수 있다.
| (x) | (y) |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 6 |
$$
(1,2),;(2,4),;(3,6)
$$
$$
y=2x
$$
좌표평면 위의 점으로 나타낸다.
함수
$$
y=f(x)
$$
에서,
어떤 값
$$
x=a
$$
를 대입하여 얻는 값을 함수값이라고 한다.
즉,
$$
f(a)
$$
를 함수 (f)의 (a)에서의 함수값이라고 한다.
함수
$$
f(x)=3x-2
$$
에 대하여,
(1)
$$
f(2)
$$
(2)
$$
f(-1)
$$
을 구하여라.
풀이
(1)
$$
f(2)=3\times2-2=4
$$
(2)
$$
f(-1)=3\times(-1)-2=-5
$$
따라서,
$$
\boxed{f(2)=4}
$$
$$
\boxed{f(-1)=-5}
$$
이다.
함수
$$
y=f(x)
$$
의 그래프는
함수식을 만족하는 모든 점
$$
(x,y)
$$
를 좌표평면 위에 나타낸 것이다.
예를 들어,
함수
$$
y=2x
$$
에서는
| (x) | (y) |
|---|---|
| -2 | -4 |
| -1 | -2 |
| 0 | 0 |
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
를 얻는다.
이 점들을 좌표평면 위에 찍으면 직선이 된다.
그래프를 통해 다음과 같은 정보를 알 수 있다.
(x)값에 따른 (y)값
함수값
증가와 감소의 경향
최댓값과 최솟값
정의역과 치역
예를 들어,
그래프 위의 점
$$
(3,5)
$$
가 있다면,
$$
f(3)=5
$$
임을 의미한다.
다음 관계를 생각해 보자.
$$
1\rightarrow 2
$$
$$
2\rightarrow 3
$$
$$
3\rightarrow 2
$$
하나의 원소가 하나의 값에만 대응된다.
→ 함수
$$
1\rightarrow 2
$$
$$
1\rightarrow 4
$$
하나의 원소가 두 개의 값에 대응된다.
→ 함수가 아님
좌표평면 위의 그래프가 함수인지 판단할 때는 수직선 판별법을 이용한다.
수직선 판별법
그래프 위에 수직선을 그었을 때,
모든 수직선이 그래프와 한 점 이하에서 만나면 함수이다.
반대로,
어떤 수직선이 그래프와 두 점 이상에서 만나면 함수가 아니다.
예를 들어,
직선
$$
y=2x
$$
은 함수이다.
그러나 원
$$
x^2+y^2=4
$$
는 함수가 아니다.
왜냐하면
$$
x=0
$$
인 수직선이
$$
(0,2)
$$
와
$$
(0,-2)
$$
에서 그래프와 만나기 때문이다.
문제
다음 대응 관계가 함수인지 판단하여라.
$$
1\rightarrow a
$$
$$
2\rightarrow b
$$
$$
3\rightarrow a
$$
풀이
정의역의 모든 원소가 대응되어 있으며,
하나의 원소가 하나의 값에만 대응된다.
따라서,
$$
\boxed{\text{함수이다.}}
$$
문제
함수
$$
f(x)=2x+1
$$
에 대하여,
$$
f(3)
$$
을 구하여라.
풀이
$$
f(3)=2\times3+1
$$
$$
=7
$$
따라서,
$$
\boxed{7}
$$
이다.
문제
그래프
$$
x^2+y^2=9
$$
은 함수인지 판단하여라.
풀이
수직선
$$
x=0
$$
을 그으면,
그래프와
$$
(0,3)
$$
과
$$
(0,-3)
$$
에서 만난다.
즉,
하나의
$$
x
$$
값에 두 개의
$$
y
$$
값이 대응된다.
따라서,
$$
\boxed{\text{함수가 아니다.}}
$$
이다.
① 함수
정의역의 각 원소에 공역의 원소가 하나씩 대응되는 관계
② 함수의 기호
$$
f:A\rightarrow B
$$
③ 정의역, 공역, 치역
정의역 : 입력값의 집합
공역 : 출력값이 포함되는 전체 집합
치역 : 실제 출력값의 집합
④ 함수값
$$
f(a)
$$
: (x=a)일 때의 함수값
⑤ 함수의 그래프
함수식을 만족하는 모든 점들의 집합
⑥ 수직선 판별법
모든 수직선이 그래프와 한 점 이하에서 만나면 함수이다.
문제 1
함수
$$
f(x)=4x-3
$$
에 대하여,
$$
f(2)
$$
와
$$
f(-1)
$$
을 구하여라.
문제 2
다음 대응 관계가 함수인지 판단하여라.
$$
1\rightarrow a
$$
$$
2\rightarrow b
$$
$$
2\rightarrow c
$$
문제 3
그래프
$$
y=x^2
$$
과
$$
x=y^2
$$
중 함수인 것을 모두 구하여라.
문제 1
$$
f(2)=5
$$
$$
f(-1)=-7
$$
따라서,
$$
\boxed{f(2)=5,\quad f(-1)=-7}
$$
문제 2
하나의 원소
$$
2
$$
가 두 개의 값에 대응된다.
따라서,
$$
\boxed{\text{함수가 아니다.}}
$$
문제 3
$$
y=x^2
$$
은 함수이다.
$$
x=y^2
$$
은 수직선 판별법을 만족하지 않으므로 함수가 아니다.
따라서,
$$
\boxed{y=x^2}
$$
만 함수이다.
함수는 “하나의 입력에 하나의 출력이 대응되는 관계”라는 개념을 바탕으로 하며, 현대 수학의 거의 모든 분야에서 핵심적인 역할을 한다. 함수의 뜻, 정의역·공역·치역의 개념, 함수값의 계산, 그래프의 해석 능력을 정확하게 익혀 두면 이후 배우게 될 일차함수, 이차함수, 지수함수, 삼각함수 등 다양한 함수 단원을 훨씬 쉽게 이해할 수 있다. 단순히 식을 계산하는 데 그치지 말고, 함수를 입력과 출력 사이의 관계로 이해하며 그래프를 통해 그 의미를 시각적으로 해석하는 습관을 기르도록 하자.
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