공통수학(2022 개정 교육과정) : 평면좌표 – 두 직선의 위치관계

학습 목표

• 두 직선의 위치관계를 이해할 수 있다.

• 기울기를 이용하여 두 직선의 위치관계를 판별할 수 있다.

• 평행과 수직의 조건을 설명할 수 있다.

• 두 직선의 위치관계를 다양한 문제에 적용할 수 있다.

1. 두 직선의 위치관계

평면 위의 두 직선은 서로의 위치에 따라 다음 세 가지 경우로 나눌 수 있다.

• 한 점에서 만나는 경우

• 서로 만나지 않는 경우

• 서로 직각으로 만나는 경우

즉, 두 직선의 위치관계를 판단하기 위해서는 직선의 기울기를 살펴보는 것이 중요하다.

2. 직선의 기울기

직선

$$
y=ax+b
$$

에서

$$
a
$$

를 직선의 기울기라고 한다.

기울기는 (x)가 1만큼 증가할 때 (y)가 얼마나 증가하거나 감소하는지를 나타낸다.

• (a>0)이면 오른쪽으로 갈수록 증가한다.

• (a<0)이면 오른쪽으로 갈수록 감소한다.

• (a=0)이면 수평인 직선이다.

예를 들어,

$$
y=2x+1
$$

의 기울기는

$$
2
$$

이다.

3. 두 직선이 만나는 경우

두 직선

$$
y=a_1x+b_1
$$

$$
y=a_2x+b_2
$$

를 생각하자.

기울기가 서로 다르면 두 직선은 반드시 한 점에서 만난다.

즉,

$$
a_1 \neq a_2
$$

이면 두 직선은 한 점에서 만난다.

한 점에서 만나는 조건

$$
a_1 \neq a_2
$$

4. 두 직선이 평행한 경우

기울기가 같고 (y)절편이 다르면 두 직선은 서로 만나지 않는다.

즉,

$$
a_1=a_2
$$

이고

$$
b_1 \neq b_2
$$

이면 두 직선은 평행하다.

평행 조건

$$
a_1=a_2
$$

그리고

$$
b_1\neq b_2
$$

5. 두 직선이 일치하는 경우

기울기와 (y)절편이 모두 같으면 두 직선은 완전히 같은 직선이다.

즉,

$$
a_1=a_2
$$

그리고

$$
b_1=b_2
$$

이면 두 직선은 일치한다.

일치 조건

$$
a_1=a_2
$$

그리고

$$
b_1=b_2
$$

6. 두 직선이 수직인 경우

두 직선이 직각으로 만날 때 두 직선은 서로 수직이라고 한다.

직선

$$
y=a_1x+b_1
$$

과

$$
y=a_2x+b_2
$$

가 수직이면 두 기울기의 곱은

$$
a_1a_2=-1
$$

을 만족한다.

수직 조건

$$
a_1a_2=-1
$$

예를 들어,

기울기가

$$
2
$$

인 직선에 수직인 직선의 기울기는

$$
-\frac{1}{2}
$$

이다.

7. 예제 1 : 두 직선이 만나는지 판단하기

문제

두 직선

$$
y=2x+3
$$

$$
y=-x+1
$$

의 위치관계를 구하여라.

풀이

기울기는 각각

$$
2,\quad -1
$$

이다.

기울기가 서로 다르므로

$$
2\neq -1
$$

따라서 두 직선은 한 점에서 만난다.

답

$$
\boxed{\text{한 점에서 만난다.}}
$$

8. 예제 2 : 평행 여부 판단하기

문제

두 직선

$$
y=3x+2
$$

$$
y=3x-5
$$

의 위치관계를 구하여라.

풀이

기울기는 모두

$$
3
$$

이고,

절편은

$$
2,\quad -5
$$

이다.

기울기는 같고 절편이 다르므로

$$
\boxed{\text{평행하다.}}
$$

9. 예제 3 : 수직 여부 판단하기

문제

두 직선

$$
y=4x+1
$$

$$
y=-\frac{1}{4}x+7
$$

의 위치관계를 구하여라.

풀이

기울기는

$$
4,\quad -\frac{1}{4}
$$

이다.

기울기의 곱은

$$
4\times\left(-\frac14\right)=-1
$$

이다.

따라서

$$
\boxed{\text{서로 수직이다.}}
$$

10. 일반형에서의 위치관계

직선이

$$
a_1x+b_1y+c_1=0
$$

$$
a_2x+b_2y+c_2=0
$$

의 형태로 주어질 수도 있다.

이때,

• 평행 조건

$$
a_1b_2-a_2b_1=0
$$

• 일치 조건

$$
\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}
$$

• 한 점에서 만나는 조건

$$
a_1b_2-a_2b_1\neq0
$$

이다.

11. 학습 정리

① 한 점에서 만나는 경우

$$
a_1\neq a_2
$$

② 평행한 경우

$$
a_1=a_2,\quad b_1\neq b_2
$$

③ 일치하는 경우

$$
a_1=a_2,\quad b_1=b_2
$$

④ 수직인 경우

$$
a_1a_2=-1
$$

12. 확인 문제

문제 1

두 직선

$$
y=x+2
$$

$$
y=2x-1
$$

의 위치관계를 구하여라.

문제 2

두 직선

$$
y=-3x+4
$$

$$
y=-3x-2
$$

의 위치관계를 구하여라.

문제 3

두 직선

$$
y=\frac12x+1
$$

$$
y=-2x+5
$$

의 위치관계를 구하여라.

정답

$$
\boxed{\text{한 점에서 만난다.}}
$$

$$
\boxed{\text{평행하다.}}
$$

$$
\boxed{\text{수직이다.}}
$$

마무리

두 직선의 위치관계는 직선의 기울기를 이용하여 간단하게 판별할 수 있다. 특히 평행 조건과 수직 조건은 이후 배우게 될 도형의 성질, 원의 접선, 벡터, 미분을 이용한 접선의 개념 등 다양한 수학 내용의 기초가 된다. 따라서 단순히 공식을 암기하는 데 그치지 말고, 기울기가 직선의 방향을 나타낸다는 의미를 함께 이해하며 학습하는 것이 중요하다.