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역함수의 뜻을 이해할 수 있다.
역함수가 존재하기 위한 조건을 설명할 수 있다.
역함수를 구하는 방법을 익힐 수 있다.
역함수의 정의역과 치역의 관계를 이해할 수 있다.
함수와 역함수의 그래프의 관계를 설명할 수 있다.
역함수를 이용하여 함수값을 구할 수 있다.
우리는 어떤 과정을 거친 결과를 다시 원래 상태로 되돌리는 경우를 자주 경험한다.
예를 들어,
섭씨온도를 화씨온도로 바꾸었다가 다시 섭씨온도로 되돌리는 경우
암호화된 정보를 복호화하는 경우
환전한 금액을 다시 원래 화폐 단위로 환산하는 경우
처럼 어떤 함수의 작용을 거꾸로 수행하는 함수가 존재할 수 있다.
이러한 함수를 역함수라고 한다.
역함수
어떤 함수의 대응 관계를 거꾸로 한 함수
함수
$$
f:A\rightarrow B
$$
가 있을 때,
집합
$$
B
$$
의 각 원소가 집합
$$
A
$$
의 원소와 정확히 하나씩 대응되면,
함수
$$
f
$$
의 대응을 거꾸로 한 함수가 존재한다.
이를
$$
f^{-1}
$$
이라고 하며, 역함수라고 한다.
즉,
$$
f(x)=y
$$
이면,
$$
f^{-1}(y)=x
$$
이다.
역함수의 기본 관계
$$
f(x)=y
\quad\Longleftrightarrow\quad
f^{-1}(y)=x
$$
모든 함수가 역함수를 가지는 것은 아니다.
역함수가 존재하려면,
공역의 각 원소가 정의역의 원소와 정확히 하나씩 대응되어야 한다.
즉,
서로 다른 입력값은 서로 다른 출력값에 대응되어야 한다.
이를 일대일 대응이라고 한다.
역함수 존재 조건
함수가 일대일 대응일 때 역함수가 존재한다.
함수
$$
f:A\rightarrow B
$$
에서,
정의역의 서로 다른 두 원소가 서로 다른 함수값을 가지며,
공역의 모든 원소가 실제로 대응될 때,
이 함수를 일대일 대응이라고 한다.
즉,
$$
x_1\neq x_2
\quad\Rightarrow\quad
f(x_1)\neq f(x_2)
$$
이다.
함수
$$
y=f(x)
$$
의 역함수를 구하는 방법은 다음과 같다.
①
$$
y=f(x)
$$
라고 놓는다.
↓
②
$$
x
$$
와
$$
y
$$
를 서로 바꾼다.
↓
③
$$
y
$$
에 대하여 정리한다.
↓
④
얻어진 식을
$$
f^{-1}(x)
$$
라고 쓴다.
함수
$$
f(x)=2x+3
$$
의 역함수를 구하여라.
풀이
먼저,
$$
y=2x+3
$$
이라고 놓는다.
양변에서
$$
x
$$
와
$$
y
$$
를 서로 바꾸면,
$$
x=2y+3
$$
이다.
이를
$$
y
$$
에 대하여 정리하면,
$$
2y=x-3
$$
$$
y=\frac{x-3}{2}
$$
이다.
따라서,
$$
\boxed{f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}}
$$
이다.
함수와 역함수에서는 정의역과 치역이 서로 바뀐다.
즉,
함수
$$
f
$$
의 정의역은
역함수
$$
f^{-1}
$$
의 치역이 되고,
함수
$$
f
$$
의 치역은
역함수
$$
f^{-1}
$$
의 정의역이 된다.
정의역과 치역의 관계
함수의 정의역 ↔ 역함수의 치역
함수의 치역 ↔ 역함수의 정의역
함수와 역함수를 연속해서 적용하면 원래 값으로 돌아온다.
즉,
$$
f^{-1}(f(x))=x
$$
또는
$$
f(f^{-1}(x))=x
$$
이다.
역함수의 성질
$$
f^{-1}(f(x))=x
$$$$
f(f^{-1}(x))=x
$$
함수
$$
y=f(x)
$$
와
역함수
$$
y=f^{-1}(x)
$$
의 그래프는 직선
$$
y=x
$$
에 대하여 서로 대칭이다.
즉,
함수의 그래프 위의 점
$$
(a,b)
$$
가 있으면,
역함수의 그래프 위에는
$$
(b,a)
$$
가 존재한다.
그래프의 관계
함수와 역함수의 그래프는
$$
y=x
$$에 대하여 대칭이다.
문제
함수
$$
f(x)=x-5
$$
의 역함수를 구하여라.
풀이
$$
y=x-5
$$
라고 놓는다.
변수를 바꾸면,
$$
x=y-5
$$
이다.
따라서,
$$
y=x+5
$$
이다.
즉,
$$
\boxed{f^{-1}(x)=x+5}
$$
이다.
문제
함수
$$
f(x)=3x-1
$$
의 역함수를 구하여라.
풀이
$$
y=3x-1
$$
이라고 놓는다.
변수를 바꾸면,
$$
x=3y-1
$$
이다.
정리하면,
$$
3y=x+1
$$
$$
y=\frac{x+1}{3}
$$
이다.
따라서,
$$
\boxed{f^{-1}(x)=\frac{x+1}{3}}
$$
이다.
문제
함수
$$
f(x)=2x+1
$$
에 대하여
$$
f^{-1}(7)
$$
을 구하여라.
풀이
먼저 역함수를 구하면,
$$
y=2x+1
$$
↓
$$
x=2y+1
$$
↓
$$
y=\frac{x-1}{2}
$$
이다.
즉,
$$
f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}
$$
이다.
따라서,
$$
f^{-1}(7)=\frac{7-1}{2}
$$
$$
=3
$$
이다.
따라서,
$$
\boxed{3}
$$
이다.
함수
$$
f(x)=x^2
$$
를 실수 전체에서 생각해 보자.
그러면,
$$
f(2)=4
$$
이고,
$$
f(-2)=4
$$
이다.
즉,
서로 다른 입력값이 같은 함수값을 가진다.
따라서 일대일 대응이 아니므로,
실수 전체에서는 역함수가 존재하지 않는다.
주의
모든 함수가 역함수를 가지는 것은 아니다.
① 역함수
함수의 대응 관계를 거꾸로 한 함수
$$
f(x)=y
\Longleftrightarrow
f^{-1}(y)=x
$$
② 역함수의 기호
$$
f^{-1}(x)
$$
③ 역함수 존재 조건
일대일 대응
$$
x_1\neq x_2
\Rightarrow
f(x_1)\neq f(x_2)
$$
④ 역함수 구하는 방법
(y=f(x))로 놓는다.
(x)와 (y)를 바꾼다.
(y)에 대하여 정리한다.
(f^{-1}(x))로 나타낸다.
⑤ 역함수의 성질
$$
f^{-1}(f(x))=x
$$
$$
f(f^{-1}(x))=x
$$
⑥ 그래프의 관계
함수와 역함수의 그래프는
$$
y=x
$$
에 대하여 대칭이다.
문제 1
함수
$$
f(x)=x+4
$$
의 역함수를 구하여라.
문제 2
함수
$$
f(x)=5x-2
$$
의 역함수를 구하여라.
문제 3
함수
$$
f(x)=3x+2
$$
에 대하여
$$
f^{-1}(11)
$$
을 구하여라.
문제 4
함수
$$
f(x)=x^2
$$
가 실수 전체에서 역함수를 가지지 않는 이유를 설명하여라.
문제 1
$$
\boxed{f^{-1}(x)=x-4}
$$
문제 2
$$
\boxed{f^{-1}(x)=\frac{x+2}{5}}
$$
문제 3
역함수는
$$
f^{-1}(x)=\frac{x-2}{3}
$$
이므로,
$$
f^{-1}(11)=3
$$
따라서,
$$
\boxed{3}
$$
이다.
문제 4
$$
f(2)=f(-2)=4
$$
이므로 서로 다른 입력값이 같은 출력값을 가진다.
즉, 일대일 대응이 아니므로 역함수가 존재하지 않는다.
역함수는 함수의 과정을 거꾸로 되돌리는 개념으로, 함수의 본질적인 대응 관계를 이해하는 데 중요한 역할을 한다. 역함수가 존재하기 위한 일대일 대응 조건, 역함수를 구하는 절차, 함수와 역함수의 그래프가 직선
$$
y=x
$$
에 대하여 대칭이라는 성질은 이후 지수함수와 로그함수, 삼각함수의 역함수 등을 학습하는 데 핵심적인 기초가 된다. 단순히 공식을 암기하기보다 함수의 입력과 출력이 서로 바뀌는 의미를 이해하며 학습하도록 하자.
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