공통수학(2022 개정 교육과정) : 도형의 이동 – 대칭이동

학습 목표

• 대칭이동의 의미를 이해할 수 있다.

• 좌표축과 원점에 대한 대칭이동을 할 수 있다.

• 직선에 대한 대칭이동을 좌표로 나타낼 수 있다.

• 대칭이동을 이용하여 도형의 방정식을 구할 수 있다.

1. 대칭이동이란?

도형을 어떤 기준이 되는 직선이나 점을 중심으로 하여 뒤집어 옮기는 것을 대칭이동이라고 한다.

대칭이동을 하면 다음과 같은 성질이 유지된다.

• 도형의 모양이 변하지 않는다.

• 도형의 크기가 변하지 않는다.

• 대응하는 점과 기준 사이의 거리가 같다.

• 선분의 길이가 변하지 않는다.

• 각의 크기가 변하지 않는다.

즉, 대칭이동은 거울에 비친 모습처럼 도형을 옮기는 것이다.

2. (x)축에 대한 대칭이동

점

$$
P(x,y)
$$

를 (x)축에 대하여 대칭이동하면 (x)좌표는 그대로이고, (y)좌표의 부호만 바뀐다.

따라서 이동한 점의 좌표는

$$
P'(x,-y)
$$

이다.

(x)축 대칭

$$
(x,y)\rightarrow(x,-y)
$$

3. (y)축에 대한 대칭이동

점

$$
P(x,y)
$$

를 (y)축에 대하여 대칭이동하면 (y)좌표는 그대로이고, (x)좌표의 부호만 바뀐다.

즉,

$$
P'(-x,y)
$$

가 된다.

(y)축 대칭

$$
(x,y)\rightarrow(-x,y)
$$

4. 원점에 대한 대칭이동

점

$$
P(x,y)
$$

를 원점에 대하여 대칭이동하면 두 좌표의 부호가 모두 바뀐다.

따라서

$$
P'(-x,-y)
$$

가 된다.

원점 대칭

$$
(x,y)\rightarrow(-x,-y)
$$

5. 직선 (y=x)에 대한 대칭이동

점

$$
P(x,y)
$$

를 직선

$$
y=x
$$

에 대하여 대칭이동하면 두 좌표가 서로 바뀐다.

즉,

$$
P'(y,x)
$$

가 된다.

직선 (y=x)에 대한 대칭

$$
(x,y)\rightarrow(y,x)
$$

6. 직선 (y=-x)에 대한 대칭이동

점

$$
P(x,y)
$$

를 직선

$$
y=-x
$$

에 대하여 대칭이동하면 좌표를 서로 바꾼 뒤 부호를 바꾼다.

즉,

$$
P'(-y,-x)
$$

가 된다.

직선 (y=-x)에 대한 대칭

$$
(x,y)\rightarrow(-y,-x)
$$

7. 방정식의 대칭이동

도형의 방정식

$$
f(x,y)=0
$$

이 있을 때,

대칭이동한 도형의 방정식은 좌표의 변화를 식에 대입하여 구한다.

주의

점의 좌표 변화와 방정식의 변화 규칙을 함께 익혀 두어야 한다.

8. 예제 1 : 점의 대칭이동

문제

점

$$
P(3,-2)
$$

를 각각 다음에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를 구하여라.

(1) (x)축

(2) (y)축

(3) 원점

풀이

(1)

$$
(3,-2)\rightarrow(3,2)
$$

(2)

$$
(3,-2)\rightarrow(-3,-2)
$$

(3)

$$
(3,-2)\rightarrow(-3,2)
$$

따라서

$$
\boxed{(3,2),;(-3,-2),;(-3,2)}
$$

이다.

9. 예제 2 : 직선 (y=x)에 대한 대칭

문제

점

$$
P(4,-1)
$$

를 직선

$$
y=x
$$

에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를 구하여라.

풀이

좌표를 서로 바꾸면 되므로,

$$
(4,-1)\rightarrow(-1,4)
$$

이다.

따라서

$$
\boxed{(-1,4)}
$$

이다.

10. 예제 3 : 원의 대칭이동

문제

원

$$
(x-2)^2+(y+1)^2=9
$$

을 (y)축에 대하여 대칭이동한 원의 방정식을 구하여라.

풀이

원의 중심은

$$
(2,-1)
$$

이다.

이를 (y)축에 대하여 대칭이동하면

$$
(-2,-1)
$$

이 된다.

반지름은 변하지 않으므로,

대칭이동한 원의 방정식은

$$
(x+2)^2+(y+1)^2=9
$$

이다.

따라서

$$
\boxed{(x+2)^2+(y+1)^2=9}
$$

이다.

11. 예제 4 : 직선의 대칭이동

문제

직선

$$
y=2x+3
$$

을 (x)축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식을 구하여라.

풀이

방정식에서

$$
y\rightarrow -y
$$

를 대입하면,

$$
-y=2x+3
$$

양변에 (-1)을 곱하여

$$
y=-2x-3
$$

을 얻는다.

따라서

$$
\boxed{y=-2x-3}
$$

이다.

12. 학습 정리

① (x)축 대칭

$$
(x,y)\rightarrow(x,-y)
$$

② (y)축 대칭

$$
(x,y)\rightarrow(-x,y)
$$

③ 원점 대칭

$$
(x,y)\rightarrow(-x,-y)
$$

④ 직선 (y=x) 대칭

$$
(x,y)\rightarrow(y,x)
$$

⑤ 직선 (y=-x) 대칭

$$
(x,y)\rightarrow(-y,-x)
$$

⑥ 대칭이동은 도형의 모양과 크기를 유지한다.

13. 확인 문제

문제 1

점

$$
(-2,5)
$$

를 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를 구하여라.

문제 2

점

$$
(3,1)
$$

를 직선

$$
y=x
$$

에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를 구하여라.

문제 3

원

$$
(x-4)^2+(y-2)^2=16
$$

을 (x)축에 대하여 대칭이동한 원의 방정식을 구하여라.

문제 4

직선

$$
y=-x+2
$$

를 (y)축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식을 구하여라.

정답

$$
\boxed{(2,-5)}
$$

$$
\boxed{(1,3)}
$$

중심

$$
(4,2)
$$

가

$$
(4,-2)
$$

로 이동하므로,

$$
\boxed{(x-4)^2+(y+2)^2=16}
$$

$$
y=x+2
$$

따라서

$$
\boxed{y=x+2}
$$

마무리

대칭이동은 기준이 되는 축이나 직선을 중심으로 도형을 뒤집는 변환으로, 도형의 모양과 크기를 그대로 유지하는 대표적인 이동 방법이다. 좌표의 부호 변화와 좌표 교환 규칙을 정확히 이해하면 점과 도형의 이동을 쉽게 처리할 수 있으며, 이는 함수의 그래프 변환, 기하 문제 해결, 벡터와 좌표 해석 등 다양한 수학 개념으로 확장된다. 단순히 규칙을 암기하는 데 그치지 말고 좌표평면 위에 직접 그림을 그려 보며 대칭의 의미를 체감하는 것이 중요하다.