공통수학(2022 개정 교육과정) : 함수 – 합성함수

학습 목표

• 합성함수의 뜻을 이해할 수 있다.

• 합성함수를 기호로 나타낼 수 있다.

• 합성함수의 정의역을 구할 수 있다.

• 합성함수의 식을 구할 수 있다.

• 합성함수를 이용하여 함수값을 계산할 수 있다.

1. 합성함수란?

실생활에서는 하나의 과정의 결과가 또 다른 과정의 입력값이 되는 경우가 많다.

예를 들어,

• 원화 금액을 달러로 환전한 후 세금을 계산하는 경우

• 섭씨온도를 화씨온도로 바꾼 후 경고 등급을 결정하는 경우

• 상품 가격에 할인율을 적용한 후 부가가치세를 계산하는 경우

처럼 한 함수를 거친 결과를 다시 다른 함수에 입력하는 경우가 있다.

이러한 과정을 수학적으로 표현한 것이 합성함수이다.

합성함수

한 함수의 출력값을 다른 함수의 입력값으로 하여 만든 새로운 함수

2. 합성함수의 정의

함수

$$
f:A\rightarrow B
$$

와

$$
g:B\rightarrow C
$$

가 있을 때,

함수

$$
f
$$

의 결과를 함수

$$
g
$$

에 입력하여 얻는 함수를 합성함수라고 한다.

이를

$$
g\circ f
$$

로 나타낸다.

읽는 방법은

“(g) 합성 (f)”

또는

“(g)와 (f)의 합성함수”

이다.

3. 합성함수의 식

합성함수

$$
g\circ f
$$

는 다음과 같이 정의된다.

$$
(g\circ f)(x)=g(f(x))
$$

즉,

1. 먼저

$$
f(x)
$$

를 계산하고,

2. 그 결과를

$$
g
$$

에 대입한다.

합성함수의 정의

$$
(g\circ f)(x)=g(f(x))
$$

4. 합성 순서에 주의하기

합성함수는 계산 순서가 매우 중요하다.

$$
(g\circ f)(x)=g(f(x))
$$

는

먼저

$$
f
$$

를 계산한 후

$$
g
$$

를 계산하는 것이다.

반면,

$$
(f\circ g)(x)=f(g(x))
$$

는

먼저

$$
g
$$

를 계산한 후

$$
f
$$

를 계산하는 것이다.

일반적으로

$$
g\circ f
\neq
f\circ g
$$

이다.

5. 예제 : 합성 순서

함수

$$
f(x)=2x+1
$$

$$
g(x)=x^2
$$

에 대하여,

$$
(g\circ f)(x)
$$

는

$$
g(f(x))
$$

이므로,

$$
=(2x+1)^2
$$

$$
=4x^2+4x+1
$$

이다.

반면,

$$
(f\circ g)(x)
$$

는

$$
f(g(x))
$$

이므로,

$$
=2x^2+1
$$

이다.

따라서,

$$
g\circ f
\neq
f\circ g
$$

이다.

6. 합성함수의 정의역

합성함수

$$
(g\circ f)(x)=g(f(x))
$$

가 정의되기 위해서는,

먼저

$$
x
$$

가 함수

$$
f
$$

의 정의역에 속해야 한다.

또한,

$$
f(x)
$$

의 값이 함수

$$
g
$$

의 정의역에 속해야 한다.

즉,

합성함수의 정의역

$$
x\in \text{정의역}(f)
$$

이고,

$$
f(x)\in \text{정의역}(g)
$$

이어야 한다.

7. 예제 : 정의역 구하기

함수

$$
f(x)=x+1
$$

$$
g(x)=\sqrt{x}
$$

에 대하여,

합성함수

$$
(g\circ f)(x)
$$

를 구하여라.

풀이

$$
(g\circ f)(x)=g(x+1)
$$

$$
=\sqrt{x+1}
$$

이다.

제곱근 안의 값은

$$
x+1\ge0
$$

이어야 하므로,

$$
x\ge -1
$$

이다.

따라서 정의역은

$$
\boxed{x\ge -1}
$$

이다.

8. 예제 1

문제

함수

$$
f(x)=3x-2
$$

$$
g(x)=x+5
$$

에 대하여,

$$
(g\circ f)(x)
$$

를 구하여라.

풀이

$$
(g\circ f)(x)=g(f(x))
$$

$$
=g(3x-2)
$$

$$
=(3x-2)+5
$$

$$
=3x+3
$$

따라서,

$$
\boxed{(g\circ f)(x)=3x+3}
$$

이다.

9. 예제 2

문제

함수

$$
f(x)=x^2
$$

$$
g(x)=2x-1
$$

에 대하여,

$$
(f\circ g)(x)
$$

를 구하여라.

풀이

$$
(f\circ g)(x)=f(g(x))
$$

$$
=f(2x-1)
$$

$$
=(2x-1)^2
$$

$$
=4x^2-4x+1
$$

따라서,

$$
\boxed{(f\circ g)(x)=4x^2-4x+1}
$$

이다.

10. 예제 3

문제

함수

$$
f(x)=2x+1
$$

$$
g(x)=x^2
$$

에 대하여,

$$
(g\circ f)(2)
$$

를 구하여라.

풀이

먼저,

$$
f(2)=2\times2+1=5
$$

이다.

따라서,

$$
(g\circ f)(2)=g(5)
$$

$$
=5^2
$$

$$
=25
$$

이다.

따라서,

$$
\boxed{25}
$$

이다.

11. 합성함수의 계산 순서 정리

합성함수를 계산할 때는 다음 순서를 따른다.

① 안쪽 함수를 먼저 계산한다.

$$
f(x)
$$

↓

② 결과를 바깥 함수에 대입한다.

$$
g(f(x))
$$

↓

③ 식을 정리한다.

12. 학습 정리

① 합성함수

한 함수의 결과를 다른 함수의 입력값으로 하는 함수

② 합성함수의 기호

$$
g\circ f
$$

③ 합성함수의 정의

$$
(g\circ f)(x)=g(f(x))
$$

④ 계산 순서

안쪽 함수부터 계산한다.

⑤ 일반적으로

$$
g\circ f
\neq
f\circ g
$$

이다.

⑥ 정의역 조건

$$
x\in \text{정의역}(f)
$$

그리고

$$
f(x)\in \text{정의역}(g)
$$

이어야 한다.

13. 확인 문제

문제 1

함수

$$
f(x)=x+2
$$

$$
g(x)=3x
$$

에 대하여,

$$
(g\circ f)(x)
$$

를 구하여라.

문제 2

함수

$$
f(x)=2x
$$

$$
g(x)=x^2+1
$$

에 대하여,

$$
(f\circ g)(x)
$$

를 구하여라.

문제 3

함수

$$
f(x)=x-1
$$

$$
g(x)=x^2
$$

에 대하여,

$$
(g\circ f)(3)
$$

을 구하여라.

정답

문제 1

$$
(g\circ f)(x)=g(x+2)
$$

$$
=3(x+2)
$$

$$
=3x+6
$$

따라서,

$$
\boxed{3x+6}
$$

이다.

문제 2

$$
(f\circ g)(x)=f(x^2+1)
$$

$$
=2(x^2+1)
$$

$$
=2x^2+2
$$

따라서,

$$
\boxed{2x^2+2}
$$

이다.

문제 3

먼저,

$$
f(3)=3-1=2
$$

이므로,

$$
(g\circ f)(3)=g(2)
$$

$$
=2^2
$$

$$
=4
$$

따라서,

$$
\boxed{4}
$$

이다.

마무리

합성함수는 여러 단계를 거치는 과정을 하나의 함수로 표현하는 중요한 개념이다. 특히 “안쪽 함수부터 계산한다”는 원칙과 합성의 순서에 따라 결과가 달라질 수 있다는 점을 정확히 이해해야 한다. 이후 배우게 될 역함수, 지수함수와 로그함수, 미분과 적분 등에서도 합성함수는 핵심적인 역할을 하므로, 식의 계산뿐 아니라 대응 과정을 그림으로 표현하며 이해하는 연습을 충분히 하도록 하자.