공통수학(2022 개정 교육과정) : 평면좌표 – 선분의 내분

학습 목표

• 선분을 내분한다는 뜻을 이해할 수 있다.

• 선분을 주어진 비로 내분하는 점의 좌표를 구할 수 있다.

• 내분점을 구하는 공식을 유도할 수 있다.

• 내분 공식을 다양한 문제에 적용할 수 있다.

1. 선분의 내분이란?

두 점

$$
A(x_1,y_1), \quad B(x_2,y_2)
$$

를 잇는 선분 위에 점 (P)가 있다고 하자.

점 (P)가 선분 (AB)를

$$
AP:PB=m:n
$$

의 비로 나누면, 점 (P)는 선분 (AB)를 (m:n)으로 내분한다고 한다.

즉, 점 (P)는 선분 위에 존재하면서 두 부분의 길이의 비가 (m:n)이 되도록 하는 점이다.

예를 들어,

$$
AP:PB=1:1
$$

이면 점 (P)는 선분의 정확한 가운데에 위치하며, 이를 중점이라고 한다.

2. 내분점의 좌표 공식

점

$$
A(x_1,y_1), \quad B(x_2,y_2)
$$

를 점 (P)가

$$
AP:PB=m:n
$$

으로 내분한다고 하자.

이때 점 (P)의 좌표는

$$
P\left(\frac{nx_1+mx_2}{m+n},\frac{ny_1+my_2}{m+n}\right)
$$

이다.

내분점 공식

점 (P)가 선분 (AB)를

$$
AP:PB=m:n
$$

으로 내분할 때,

$$
P\left(\frac{nx_1+mx_2}{m+n},\frac{ny_1+my_2}{m+n}\right)
$$

3. 왜 이런 공식이 나올까?

내분점은 가까운 점보다 먼 점의 좌표에 더 큰 영향을 받는다.

예를 들어,

$$
AP:PB=1:2
$$

이면 점 (P)는 점 (A)보다 점 (B)에 더 가깝다.

실제로 (x)좌표는

$$
x=\frac{2x_1+x_2}{3}
$$

이 되고,

(y)좌표는

$$
y=\frac{2y_1+y_2}{3}
$$

이 된다.

즉, 내분점의 좌표는 두 점의 좌표를 비율에 따라 가중평균한 결과라고 볼 수 있다.

4. 중점 공식

가장 중요한 특수한 경우는

$$
AP:PB=1:1
$$

인 경우이다.

이 경우 점 (P)는 선분의 중점이 된다.

내분 공식에

$$
m=n=1
$$

을 대입하면,

$$
P\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)
$$

을 얻는다.

중점 공식

선분 (AB)의 중점은

$$
\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)
$$

이다.

5. 예제 1

문제

점

$$
A(1,2), \quad B(7,8)
$$

를

$$
AP:PB=1:2
$$

로 내분하는 점 (P)의 좌표를 구하여라.

풀이

내분 공식을 이용하면,

$$
P\left(\frac{2\cdot1+1\cdot7}{1+2},\frac{2\cdot2+1\cdot8}{1+2}\right)
$$

$$\left(\frac{9}{3},\frac{12}{3}\right)$$

$$
=(3,4)
$$

따라서

$$
\boxed{P(3,4)}
$$

이다.

6. 예제 2

문제

점

$$
A(-2,5), \quad B(6,-3)
$$

를

$$
AP:PB=3:1
$$

로 내분하는 점 (P)를 구하여라.

풀이

$$P\left(\frac{1(-2)+3(6)}{4},\frac{1(5)+3(-3)}{4}\right)$$

$$

\left(\frac{16}{4},\frac{-4}{4}\right)
$$

$$
=(4,-1)
$$

따라서

$$
\boxed{P(4,-1)}
$$

이다.

7. 예제 3 (중점)

문제

선분의 양 끝점이

$$
A(3,-1), \quad B(9,7)
$$

일 때 중점을 구하여라.

풀이

중점 공식을 이용하면,

$$
\left(\frac{3+9}{2},\frac{-1+7}{2}\right)
$$

$$\left(\frac{12}{2},\frac{6}{2}\right)$$

$$
=(6,3)
$$

따라서

$$
\boxed{(6,3)}
$$

이다.

8. 실생활 활용

내분은 다양한 분야에서 활용된다.

• 지도에서 두 지점 사이의 특정 비율 위치를 찾을 때

• 컴퓨터 그래픽스에서 물체의 중간 위치를 계산할 때

• 애니메이션의 보간(interpolation) 과정

• 공학 설계에서 기준점을 설정할 때

특히 중점 공식은 컴퓨터 그래픽스와 게임 프로그래밍에서 매우 자주 사용된다.

9. 학습 정리

① 내분의 의미

점 (P)가 선분 (AB)를

$$
AP:PB=m:n
$$

으로 나누면 선분을 (m:n)으로 내분한다고 한다.

② 내분점 공식

$$
P\left(\frac{nx_1+mx_2}{m+n},\frac{ny_1+my_2}{m+n}\right)
$$

③ 중점 공식

$$
\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)
$$

④ 내분점은 두 점의 좌표를 비율에 따라 가중평균한 결과이다.

10. 확인 문제

문제 1

점

$$
A(2,1), \quad B(8,10)
$$

를

$$
AP:PB=2:1
$$

로 내분하는 점을 구하여라.

문제 2

점

$$
A(-4,3), \quad B(2,9)
$$

를

$$
AP:PB=1:3
$$

으로 내분하는 점을 구하여라.

문제 3

선분의 양 끝점이

$$
A(-5,2), \quad B(7,-6)
$$

일 때 중점을 구하여라.

정답

$$
\boxed{(6,7)}
$$

$$
\boxed{\left(-\frac{5}{2},\frac{9}{2}\right)}
$$

$$
\boxed{(1,-2)}
$$

마무리

선분의 내분은 좌표를 단순히 계산하는 기술이 아니라, 두 점 사이의 위치를 비율로 표현하는 중요한 개념이다. 특히 내분 공식은 중점 공식의 일반화된 형태이며, 이후 배우게 될 벡터, 도형의 성질, 해석기하의 다양한 내용으로 확장되는 기초가 된다. 공식의 암기뿐만 아니라 “왜 이런 형태의 가중평균이 되는가”를 이해하며 학습하는 것이 중요하다.