공통수학(2022 개정 교육과정) : 평면좌표 – 원과 직선의 위치 관계

학습 목표

• 원과 직선의 위치 관계를 이해할 수 있다.

• 원의 중심과 직선 사이의 거리를 이용하여 위치 관계를 판별할 수 있다.

• 원과 직선이 만나는 점의 개수를 판단할 수 있다.

• 접선의 의미를 이해하고 관련 문제를 해결할 수 있다.

1. 원과 직선의 위치 관계

원의 중심을

$$
C(a,b)
$$

반지름을

$$
r
$$

이라고 하자.

또한 직선의 방정식이

$$
Ax+By+C=0
$$

이라고 하자.

원과 직선의 위치 관계는 다음 세 가지 경우로 나뉜다.

• 서로 만나지 않는 경우

• 한 점에서 만나는 경우

• 두 점에서 만나는 경우

이때 중요한 기준은 원의 중심과 직선 사이의 거리이다.

2. 원의 중심에서 직선까지의 거리

원의 중심

$$
C(a,b)
$$

에서 직선

$$
Ax+By+C=0
$$

까지의 거리를 (d)라고 하면,

$$
d=\frac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}
$$

이다.

이 거리와 반지름

$$
r
$$

을 비교하여 위치 관계를 판단한다.

3. 원과 직선이 만나지 않는 경우

중심과 직선 사이의 거리가 반지름보다 크면 직선은 원의 바깥쪽에 위치한다.

즉,

$$
d>r
$$

이면 공통점이 없다.

만나지 않는 조건

$$
d>r
$$

공통점의 개수 : 0개

4. 원과 직선이 한 점에서 만나는 경우

중심과 직선 사이의 거리가 반지름과 같으면 직선은 원에 접한다.

즉,

$$
d=r
$$

이면 직선은 원의 접선이 된다.

이때 공통점은 한 개이다.

접하는 조건

$$
d=r
$$

공통점의 개수 : 1개

5. 원과 직선이 두 점에서 만나는 경우

중심과 직선 사이의 거리가 반지름보다 작으면 직선이 원 내부를 지난다.

즉,

$$
d<r
$$

이면 두 점에서 만난다.

두 점에서 만나는 조건

$$
d<r
$$

공통점의 개수 : 2개

6. 위치 관계 정리

7. 예제 1 : 만나지 않는 경우

문제

원

$$
(x-1)^2+(y-2)^2=4
$$

과 직선

$$
3x+4y-20=0
$$

의 위치 관계를 구하여라.

풀이

원의 중심은

$$
(1,2)
$$

반지름은

$$
r=2
$$

이다.

중심과 직선 사이의 거리는

$$
d=\frac{|3(1)+4(2)-20|}{\sqrt{3^2+4^2}}
$$

$$
=\frac{|3+8-20|}{5}
$$

$$
=\frac{9}{5}
$$

이다.

따라서

$$
\frac95<2
$$

이므로

직선은 원과 두 점에서 만난다.

답

$$
\boxed{\text{두 점에서 만난다.}}
$$

8. 예제 2 : 접하는 경우

문제

원

$$
x^2+y^2=25
$$

과 직선

$$
3x+4y-25=0
$$

의 위치 관계를 구하여라.

풀이

원의 중심은

$$
(0,0)
$$

반지름은

$$
5
$$

이다.

거리는

$$
d=\frac{|0+0-25|}{\sqrt{3^2+4^2}}
$$

$$
=\frac{25}{5}
$$

$$
=5
$$

이다.

즉,

$$
d=r
$$

이므로

직선은 원의 접선이다.

답

$$
\boxed{\text{한 점에서 만난다.}}
$$

9. 예제 3 : 두 점에서 만나는 경우

문제

원

$$
(x+2)^2+(y-1)^2=9
$$

과 직선

$$
x-y+2=0
$$

의 위치 관계를 구하여라.

풀이

원의 중심은

$$
(-2,1)
$$

반지름은

$$
3
$$

이다.

거리는

$$
d=\frac{|-2-1+2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}
$$

$$
=\frac{1}{\sqrt2}
$$

이다.

즉,

$$
\frac{1}{\sqrt2}<3
$$

이므로

직선은 원과 두 점에서 만난다.

답

$$
\boxed{\text{두 점에서 만난다.}}
$$

10. 접선의 성질

원이 직선과 접할 때,

원의 중심과 접점을 이은 선분은 접선에 수직이다.

즉, 접점을 (T)라고 하면

$$
CT \perp \text{접선}
$$

이다.

이 성질은 접선의 방정식을 구할 때 매우 중요하게 사용된다.

11. 학습 정리

① 중심과 직선 사이의 거리

$$
d=\frac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}
$$

② 위치 관계 판별

• 만나지 않음

$$
d>r
$$

• 접함

$$
d=r
$$

• 두 점에서 만남

$$
d<r
$$

③ 접선의 성질

$$
\text{중심과 접점을 이은 선분} \perp \text{접선}
$$

12. 확인 문제

문제 1

원

$$
x^2+y^2=16
$$

과 직선

$$
x+y-10=0
$$

의 위치 관계를 구하여라.

문제 2

원

$$
(x-2)^2+(y+1)^2=25
$$

과 직선

$$
3x+4y+15=0
$$

의 위치 관계를 구하여라.

문제 3

원

$$
(x+1)^2+(y-2)^2=36
$$

과 직선

$$
x-2y+3=0
$$

의 위치 관계를 구하여라.

정답

거리는

$$
d=\frac{10}{\sqrt2}=5\sqrt2
$$

이고,

$$
5\sqrt2>4
$$

이므로

$$
\boxed{\text{만나지 않는다.}}
$$

거리는

$$
d=\frac{|6-4+15|}{5}
=\frac{17}{5}
$$

이고,

$$
\frac{17}{5}<5
$$

이므로

$$
\boxed{\text{두 점에서 만난다.}}
$$

거리는

$$
d=\frac{|-1-4+3|}{\sqrt5}
=\frac{2}{\sqrt5}
$$

이고,

$$
\frac{2}{\sqrt5}<6
$$

이므로

$$
\boxed{\text{두 점에서 만난다.}}
$$

마무리

원과 직선의 위치 관계는 원의 중심에서 직선까지의 거리와 반지름의 크기를 비교하여 간단하게 판별할 수 있다. 이는 점과 직선 사이의 거리 공식을 활용하는 대표적인 응용 문제이며, 이후 배우게 될 접선의 방정식과 원의 성질을 이해하는 데 중요한 기초가 된다. 단순히 세 가지 경우를 암기하는 데 그치지 말고, 왜 거리와 반지름을 비교하는지 그 의미까지 이해하며 학습하는 것이 중요하다.