공통수학(2022 개정 교육과정) : 도형의 이동 – 평행이동

학습 목표

• 평행이동의 의미를 이해할 수 있다.

• 점의 평행이동을 좌표로 나타낼 수 있다.

• 도형의 평행이동 규칙을 설명할 수 있다.

• 평행이동을 이용하여 도형의 방정식을 구할 수 있다.

1. 평행이동이란?

도형의 모양과 크기를 바꾸지 않고 일정한 방향으로 일정한 거리만큼 이동시키는 것을 평행이동이라고 한다.

평행이동을 하면 다음과 같은 성질이 유지된다.

• 도형의 모양이 변하지 않는다.

• 도형의 크기가 변하지 않는다.

• 선분의 길이가 변하지 않는다.

• 각의 크기가 변하지 않는다.

• 대응하는 선분은 서로 평행하다.

즉, 평행이동은 도형을 “미끄러지듯이 옮기는 것”이라고 생각할 수 있다.

2. 점의 평행이동

점

$$
P(x,y)
$$

를

• 오른쪽으로 (a)만큼,

• 위쪽으로 (b)만큼

평행이동하면 새로운 점의 좌표는

$$
P'(x+a,;y+b)
$$

가 된다.

점의 평행이동 공식

점

$$
P(x,y)
$$

를

$$
(a,b)
$$

만큼 평행이동하면

$$
P'(x+a,;y+b)
$$

가 된다.

3. 이동 방향에 따른 좌표 변화

점

$$
P(x,y)
$$

를 이동시키는 경우,

• 오른쪽으로 (a)만큼

$$
(x+a,;y)
$$

• 왼쪽으로 (a)만큼

$$
(x-a,;y)
$$

• 위쪽으로 (b)만큼

$$
(x,;y+b)
$$

• 아래쪽으로 (b)만큼

$$
(x,;y-b)
$$

가 된다.

따라서 여러 방향으로 동시에 이동할 경우에는 각각의 좌표 변화량을 더하면 된다.

4. 도형의 평행이동

도형을 평행이동할 때는 도형 위의 모든 점을 같은 방향으로 같은 거리만큼 이동시킨다.

예를 들어,

삼각형의 꼭짓점이

$$
A(x_1,y_1),\quad B(x_2,y_2),\quad C(x_3,y_3)
$$

일 때,

이를

$$
(a,b)
$$

만큼 평행이동하면,

$$
A'(x_1+a,;y_1+b)
$$

$$
B'(x_2+a,;y_2+b)
$$

$$
C'(x_3+a,;y_3+b)
$$

가 된다.

5. 방정식의 평행이동

도형의 방정식

$$
f(x,y)=0
$$

을

• 오른쪽으로 (a)만큼,

• 위쪽으로 (b)만큼

평행이동하면,

원래 식의

$$
x \rightarrow x-a
$$

$$
y \rightarrow y-b
$$

를 대입하면 된다.

즉,

방정식의 평행이동

$$
f(x,y)=0
$$

을

$$
(a,b)
$$

만큼 평행이동하면

$$
f(x-a,;y-b)=0
$$

이 된다.

주의

점의 이동은

$$
(x+a,;y+b)
$$

이지만,

방정식의 이동은

$$
x-a,\quad y-b
$$

를 대입한다.

6. 예제 1 : 점의 평행이동

문제

점

$$
P(2,-1)
$$

을 오른쪽으로 3, 위쪽으로 4만큼 평행이동한 점의 좌표를 구하여라.

풀이

$$
P'(2+3,,-1+4)
$$

$$
=(5,3)
$$

따라서

$$
\boxed{(5,3)}
$$

이다.

7. 예제 2 : 도형의 평행이동

문제

삼각형의 꼭짓점

$$
A(1,2),\quad B(3,0),\quad C(-1,4)
$$

를

$$
(2,-3)
$$

만큼 평행이동하여라.

풀이

각 점에 대해

$$
(x,y)\rightarrow(x+2,;y-3)
$$

를 적용하면,

$$
A'(3,-1)
$$

$$
B'(5,-3)
$$

$$
C'(1,1)
$$

이다.

따라서

$$
\boxed{A'(3,-1),;B'(5,-3),;C'(1,1)}
$$

이다.

8. 예제 3 : 원의 평행이동

문제

원

$$
x^2+y^2=9
$$

을 오른쪽으로 2, 위쪽으로 1만큼 평행이동한 원의 방정식을 구하여라.

풀이

방정식의 평행이동 규칙에 따라

$$
x\rightarrow x-2
$$

$$
y\rightarrow y-1
$$

을 대입한다.

따라서

$$
(x-2)^2+(y-1)^2=9
$$

이다.

즉,

$$
\boxed{(x-2)^2+(y-1)^2=9}
$$

이다.

9. 예제 4 : 직선의 평행이동

문제

직선

$$
y=2x+1
$$

을 오른쪽으로 1, 위쪽으로 3만큼 평행이동한 직선의 방정식을 구하여라.

풀이

원래 식

$$
y=2x+1
$$

에서

$$
x\rightarrow x-1
$$

$$
y\rightarrow y-3
$$

를 대입하면,

$$
y-3=2(x-1)+1
$$

$$
y-3=2x-1
$$

$$
y=2x+2
$$

따라서

$$
\boxed{y=2x+2}
$$

이다.

10. 실생활 활용

평행이동은 다양한 분야에서 활용된다.

• 컴퓨터 그래픽스에서 캐릭터 이동

• 게임 프로그래밍에서 물체의 위치 변화

• 로봇 공학에서 이동 경로 계산

• 지도 제작에서 위치 보정

• 건축 설계에서 동일한 구조물 배치

특히 컴퓨터 화면에서 물체를 움직이는 대부분의 과정은 평행이동을 이용하여 구현된다.

11. 학습 정리

① 점의 평행이동

$$
(x,y)\rightarrow(x+a,;y+b)
$$

② 도형의 평행이동

도형 위의 모든 점을 같은 방향으로 같은 거리만큼 이동시킨다.

③ 방정식의 평행이동

$$
f(x,y)=0
$$

↓

$$
f(x-a,;y-b)=0
$$

④ 점의 이동과 방정식의 이동은 부호가 반대임에 주의한다.

12. 확인 문제

문제 1

점

$$
P(-2,5)
$$

를

$$
(4,-3)
$$

만큼 평행이동한 점의 좌표를 구하여라.

문제 2

원

$$
(x-1)^2+(y+2)^2=16
$$

을 왼쪽으로 3, 위쪽으로 2만큼 평행이동한 원의 방정식을 구하여라.

문제 3

직선

$$
y=-x+4
$$

를 오른쪽으로 2, 아래쪽으로 1만큼 평행이동한 직선의 방정식을 구하여라.

정답

$$
\boxed{(2,2)}
$$

중심

$$
(1,-2)
$$

이

$$
(-2,0)
$$

으로 이동하므로,

$$
\boxed{(x+2)^2+y^2=16}
$$

$$
y+1=-(x-2)+4
$$

$$
y=-x+5
$$

따라서

$$
\boxed{y=-x+5}
$$

마무리

평행이동은 도형의 모양과 크기를 유지한 채 위치만 바꾸는 가장 기본적인 도형의 이동이다. 점의 좌표 변화와 방정식의 좌표 변화가 서로 반대 부호를 가진다는 점을 정확히 이해하는 것이 중요하며, 이는 이후 배우게 될 대칭이동, 확대·축소, 함수의 그래프 이동 등 다양한 수학 개념의 기초가 된다. 단순히 공식을 암기하기보다는 실제로 점과 도형을 좌표평면 위에 그려 보며 이동 과정을 직접 확인해 보는 습관을 가지도록 하자.