공통수학(2022 개정 교육과정) : 집합 – 집합의 뜻과 집합 사이의 포함관계

학습 목표

• 집합의 뜻을 이해할 수 있다.

• 집합을 나타내는 다양한 방법을 설명할 수 있다.

• 원소와 집합의 관계를 기호로 나타낼 수 있다.

• 집합 사이의 포함관계를 이해하고 판단할 수 있다.

• 부분집합과 진부분집합의 의미를 설명할 수 있다.

1. 집합이란?

우리는 일상생활에서 여러 대상들을 공통된 기준에 따라 묶어 생각하는 경우가 많다.

예를 들어,

• 우리 반 학생들

• 자연수 전체의 모임

• 모음인 알파벳의 모임

• 10 이하의 소수의 모임

등은 모두 일정한 기준에 따라 대상을 모아 놓은 것이다.

이처럼 분명한 기준에 따라 그 대상을 명확하게 결정할 수 있는 것들의 모임을 집합이라고 한다.

집합을 이루는 각각의 대상을 원소라고 한다.

집합

분명한 기준에 따라 그 대상을 명확하게 결정할 수 있는 것들의 모임

원소

집합을 이루는 각각의 대상

2. 집합의 표현 방법

집합은 주로 중괄호

$$
{ }
$$

를 사용하여 나타낸다.

집합은 다음과 같은 방법으로 표현할 수 있다.

(1) 원소를 나열하는 방법

집합의 원소를 하나씩 직접 써서 나타내는 방법이다.

예를 들어,

10 이하의 홀수의 집합은

$$
{1,3,5,7,9}
$$

로 나타낸다.

(2) 조건을 이용하는 방법

원소가 만족하는 조건을 이용하여 나타내는 방법이다.

예를 들어,

10 이하의 홀수의 집합은

$$
{x \mid x는\ 10\ 이하의\ 홀수}
$$

로 나타낼 수 있다.

여기서

$$
\mid
$$

는 “~인” 또는 “~을 만족하는”이라는 뜻으로 읽는다.

3. 원소와 집합의 관계

원소가 집합에 속하는 경우에는 기호

$$
\in
$$

을 사용한다.

읽는 방법은 “~에 속한다”이다.

예를 들어,

집합

$$
A={2,4,6,8}
$$

에 대하여,

$$
2\in A
$$

는 “2는 집합 (A)에 속한다.”라는 뜻이다.

반대로 원소가 집합에 속하지 않는 경우에는

$$
\notin
$$

을 사용한다.

예를 들어,

$$
3\notin A
$$

는 “3은 집합 (A)에 속하지 않는다.”라는 뜻이다.

원소 관계

속한다 :

$$
\in
$$

속하지 않는다 :

$$
\notin
$$

4. 집합 사이의 포함관계

집합 (A)의 모든 원소가 집합 (B)의 원소이면,

집합 (A)는 집합 (B)의 부분집합이라고 한다.

이때

$$
A\subseteq B
$$

로 나타낸다.

읽는 방법은

“집합 (A)는 집합 (B)의 부분집합이다.”

또는

“집합 (A)는 집합 (B)에 포함된다.”

이다.

부분집합

집합 (A)의 모든 원소가 집합 (B)에 속하면

$$
A\subseteq B
$$

5. 부분집합의 예

집합

$$
A={1,2}
$$

$$
B={1,2,3,4}
$$

라고 하자.

집합 (A)의 원소인

$$
1,;2
$$

는 모두 집합 (B)에 속한다.

따라서

$$
A\subseteq B
$$

이다.

반면,

집합

$$
C={1,5}
$$

에 대하여,

원소

$$
5
$$

는 집합 (B)에 속하지 않는다.

즉,

$$
5\notin B
$$

이므로

$$
C\not\subseteq B
$$

이다.

6. 진부분집합

집합 (A)가 집합 (B)의 부분집합이면서,

두 집합이 서로 같지 않을 때

집합 (A)를 집합 (B)의 진부분집합이라고 한다.

즉,

$$
A\subseteq B
$$

이고

$$
A\neq B
$$

이면,

$$
A\subset B
$$

라고 쓴다.

진부분집합

$$
A\subset B
$$

⇔

$$
A\subseteq B
\quad \text{그리고} \quad
A\neq B
$$

7. 공집합

원소를 하나도 가지지 않는 집합을 공집합이라고 한다.

공집합은

$$
\varnothing
$$

또는

$$
{}
$$

로 나타낸다.

예를 들어,

“5보다 크면서 동시에 3보다 작은 자연수의 집합”

은 원소가 존재하지 않으므로 공집합이다.

$$
\varnothing
$$

의 중요한 성질은 다음과 같다.

공집합은 모든 집합의 부분집합이다.

즉, 임의의 집합 (A)에 대하여

$$
\varnothing\subseteq A
$$

이다.

8. 자기 자신은 항상 부분집합이다

임의의 집합 (A)에 대하여,

집합 (A)의 모든 원소는 당연히 집합 (A)에 속한다.

따라서

$$
A\subseteq A
$$

이다.

즉,

모든 집합은 자기 자신의 부분집합이다.

9. 예제 1

문제

집합

$$
A={1,2,3,4}
$$

에 대하여 다음의 참, 거짓을 판별하여라.

(1)

$$
2\in A
$$

(2)

$$
5\in A
$$

(3)

$$
5\notin A
$$

풀이

(1) 참

(2) 거짓

(3) 참

답

$$
\boxed{\text{참, 거짓, 참}}
$$

10. 예제 2

문제

집합

$$
A={1,2}
$$

$$
B={1,2,3}
$$

에 대하여 다음을 판별하여라.

(1)

$$
A\subseteq B
$$

(2)

$$
A\subset B
$$

(3)

$$
B\subseteq A
$$

풀이

(1)

집합 (A)의 모든 원소는 집합 (B)에 속한다.

→ 참

(2)

두 집합은 서로 다르다.

→ 참

(3)

원소 3은 집합 (A)에 속하지 않는다.

→ 거짓

답

$$
\boxed{\text{참, 참, 거짓}}
$$

11. 예제 3

문제

다음 중 공집합인 것을 모두 찾아라.

(가)

3보다 작고 5보다 큰 자연수의 집합

(나)

10보다 작은 짝수의 집합

(다)

1보다 작은 자연수의 집합

풀이

(가)

조건을 만족하는 자연수가 없다.

→ 공집합

(나)

원소가 존재한다.

→ 공집합이 아님

(다)

자연수를

$$
1,2,3,\cdots
$$

로 정의하면 원소가 없다.

→ 공집합

답

$$
\boxed{(가),;(다)}
$$

12. 학습 정리

① 집합

분명한 기준에 따라 대상을 명확하게 결정할 수 있는 것들의 모임

② 원소

집합을 이루는 각각의 대상

③ 원소 관계

속한다 :

$$
\in
$$

속하지 않는다 :

$$
\notin
$$

④ 부분집합

$$
A\subseteq B
$$

집합 (A)의 모든 원소가 집합 (B)에 속한다.

⑤ 진부분집합

$$
A\subset B
$$

⇔

$$
A\subseteq B,\quad A\neq B
$$

⑥ 공집합

$$
\varnothing
$$

모든 집합의 부분집합이다.

⑦ 모든 집합은 자기 자신의 부분집합이다.

$$
A\subseteq A
$$

13. 확인 문제

문제 1

집합

$$
A={2,4,6,8}
$$

에 대하여 다음의 참, 거짓을 판별하여라.

(1)

$$
4\in A
$$

(2)

$$
5\notin A
$$

(3)

$$
6\notin A
$$

문제 2

집합

$$
A={1,3}
$$

$$
B={1,2,3,4}
$$

에 대하여 다음을 판별하여라.

(1)

$$
A\subseteq B
$$

(2)

$$
A\subset B
$$

(3)

$$
B\subseteq A
$$

문제 3

다음 중 공집합인 것을 모두 찾아라.

(가) 7보다 크고 5보다 작은 정수의 집합

(나) 10 이하의 소수의 집합

(다) 0보다 작은 자연수의 집합

정답

문제 1

$$
\boxed{\text{참,;참,;거짓}}
$$

문제 2

$$
\boxed{\text{참,;참,;거짓}}
$$

문제 3

$$
\boxed{(가),;(다)}
$$

마무리

집합은 현대 수학의 언어라고 불릴 만큼 중요한 개념이다. 수와 식, 함수, 확률, 기하 등 이후 배우게 되는 거의 모든 수학 내용은 집합의 개념을 바탕으로 전개된다. 따라서 집합의 뜻, 원소와 집합의 관계, 부분집합과 진부분집합, 공집합의 성질을 정확하게 이해하는 것은 앞으로의 수학 학습을 위한 중요한 기초가 된다. 단순히 기호의 의미를 암기하는 데 그치지 말고, 실제 예를 통해 포함관계를 스스로 판단해 보는 연습을 충분히 하도록 하자.