Certificate Locked
Complete the course to unlock the certificate
0% Completed
Required 100%
조건명제의 의미를 이해할 수 있다.
명제의 역, 이, 대우를 구할 수 있다.
원래 명제와 역, 이, 대우의 진릿값 관계를 설명할 수 있다.
대우를 이용하여 명제의 참·거짓을 판단할 수 있다.
대우를 활용한 증명의 기본 원리를 이해할 수 있다.
참 또는 거짓을 분명하게 판단할 수 있는 문장을 명제라고 한다.
특히,
“만약 (p)이면 (q)이다.”
와 같은 형태의 명제를 조건명제라고 한다.
이를 기호로
$$
p\rightarrow q
$$
라고 나타낸다.
여기서,
(p) : 가정(조건)
(q) : 결론
이다.
예를 들어,
“어떤 자연수가 4의 배수이면 짝수이다.”
는 조건명제이다.
이때,
(p) :
“4의 배수이다.”
(q) :
“짝수이다.”
이다.
조건명제
$$
p\rightarrow q
$$
에서 가정과 결론을 서로 바꾼 명제를 역이라고 한다.
즉,
역
$$
q\rightarrow p
$$
이다.
예를 들어,
원래 명제가
“어떤 자연수가 4의 배수이면 짝수이다.”
라면,
역은
“어떤 자연수가 짝수이면 4의 배수이다.”
이다.
조건명제
$$
p\rightarrow q
$$
에서 가정과 결론을 각각 부정한 명제를 이라고 한다.
즉,
이
$$
\sim p\rightarrow \sim q
$$
이다.
여기서
$$
\sim p
$$
는 “(p)가 아니다.”를 의미한다.
예를 들어,
원래 명제가
“어떤 자연수가 4의 배수이면 짝수이다.”
라면,
이는
“어떤 자연수가 4의 배수가 아니면 짝수가 아니다.”
이다.
조건명제
$$
p\rightarrow q
$$
에서 가정과 결론을 서로 바꾸고 각각 부정한 명제를 대우라고 한다.
즉,
대우
$$
\sim q\rightarrow \sim p
$$
이다.
예를 들어,
원래 명제가
“어떤 자연수가 4의 배수이면 짝수이다.”
라면,
대우는
“어떤 자연수가 짝수가 아니면 4의 배수가 아니다.”
이다.
| 명제의 종류 | 기호 |
|---|---|
| 원래 명제 | $$p\rightarrow q$$ |
| 역 | $$q\rightarrow p$$ |
| 이 | $$\sim p\rightarrow \sim q$$ |
| 대우 | $$\sim q\rightarrow \sim p$$ |
조건명제와 그 대우는 항상 같은 진릿값을 가진다.
즉,
$$
p\rightarrow q
$$
와
$$
\sim q\rightarrow \sim p
$$
는 동시에 참이거나 동시에 거짓이다.
또한,
역과 이는 항상 같은 진릿값을 가진다.
즉,
$$
q\rightarrow p
$$
와
$$
\sim p\rightarrow \sim q
$$
는 동시에 참이거나 동시에 거짓이다.
중요
원래 명제와 역은 반드시 같은 진릿값을 가지는 것은 아니다.
| 명제 | 같은 진릿값 |
|---|---|
| $$p\rightarrow q$$ | $$\sim q\rightarrow \sim p$$ |
| $$q\rightarrow p$$ | $$\sim p\rightarrow \sim q$$ |
즉,
원래 명제 ↔ 대우
역 ↔ 이
는 항상 같은 진릿값을 가진다.
문제
다음 명제의 역, 이, 대우를 구하여라.
“어떤 수가 3의 배수이면 각 자리 숫자의 합은 3의 배수이다.”
풀이
(p) :
“3의 배수이다.”
(q) :
“각 자리 숫자의 합은 3의 배수이다.”
이다.
역 :
“각 자리 숫자의 합이 3의 배수이면 원래 수는 3의 배수이다.”
이 :
“3의 배수가 아니면 각 자리 숫자의 합은 3의 배수가 아니다.”
대우 :
“각 자리 숫자의 합이 3의 배수가 아니면 원래 수는 3의 배수가 아니다.”
문제
다음 명제의 진릿값을 판단하여라.
“어떤 자연수가 6의 배수이면 짝수이다.”
그리고 그 역의 진릿값도 판단하여라.
풀이
원래 명제 :
6의 배수는 반드시 짝수이다.
따라서 참이다.
역 :
“어떤 자연수가 짝수이면 6의 배수이다.”
예를 들어,
$$
2
$$
는 짝수이지만 6의 배수가 아니다.
따라서 거짓이다.
답
원래 명제 :
$$
\boxed{\text{참}}
$$
역 :
$$
\boxed{\text{거짓}}
$$
문제
다음 명제의 대우를 이용하여 진릿값을 판단하여라.
“어떤 정수가 홀수이면 그 제곱도 홀수이다.”
풀이
대우는
“어떤 정수의 제곱이 홀수가 아니면 그 정수도 홀수가 아니다.”
이다.
즉,
“제곱이 짝수이면 원래 수도 짝수이다.”
라는 뜻이다.
짝수의 제곱은 짝수이고,
제곱이 짝수이면 원래 수도 짝수이므로 대우는 참이다.
원래 명제와 대우는 같은 진릿값을 가지므로,
원래 명제 역시 참이다.
답
$$
\boxed{\text{참}}
$$
어떤 명제를 직접 증명하기 어려울 때,
대우를 증명하는 방법을 사용할 수 있다.
예를 들어,
“정수 (n)이 홀수이면 (n^2)도 홀수이다.”
를 증명하려면,
대우인
“(n^2)가 짝수이면 (n)도 짝수이다.”
를 증명해도 된다.
원래 명제와 대우는 같은 진릿값을 가지므로,
대우가 참이면 원래 명제도 참이다.
이를 대우를 이용한 증명이라고 한다.
① 조건명제
$$
p\rightarrow q
$$
“만약 (p)이면 (q)이다.”
② 역
$$
q\rightarrow p
$$
③ 이
$$
\sim p\rightarrow \sim q
$$
④ 대우
$$
\sim q\rightarrow \sim p
$$
⑤ 같은 진릿값 관계
원래 명제 ↔ 대우
$$
p\rightarrow q
\quad \Leftrightarrow \quad
\sim q\rightarrow \sim p
$$
역 ↔ 이
$$
q\rightarrow p
\quad \Leftrightarrow \quad
\sim p\rightarrow \sim q
$$
문제 1
다음 명제의 역, 이, 대우를 구하여라.
“어떤 수가 5의 배수이면 일의 자리 숫자는 0 또는 5이다.”
문제 2
다음 명제와 역의 진릿값을 판단하여라.
“어떤 자연수가 10의 배수이면 짝수이다.”
문제 3
다음 명제의 대우를 구하여라.
“삼각형이 정삼각형이면 세 내각의 크기가 모두 같다.”
문제 1
역 :
“일의 자리 숫자가 0 또는 5이면 5의 배수이다.”
이 :
“5의 배수가 아니면 일의 자리 숫자는 0 또는 5가 아니다.”
대우 :
“일의 자리 숫자가 0도 아니고 5도 아니면 5의 배수가 아니다.”
문제 2
원래 명제 :
$$
\boxed{\text{참}}
$$
역 :
“짝수이면 10의 배수이다.”
예를 들어,
$$
2
$$
는 짝수이지만 10의 배수가 아니다.
따라서
$$
\boxed{\text{거짓}}
$$
이다.
문제 3
대우 :
“세 내각의 크기가 모두 같지 않으면 정삼각형이 아니다.”
명제의 역과 대우는 조건 사이의 논리적 관계를 깊이 있게 이해하는 데 매우 중요한 개념이다. 특히 원래 명제와 대우가 항상 같은 진릿값을 가진다는 사실은 수학적 증명에서 강력한 도구로 활용된다. 단순히 역·이·대우의 형태를 암기하는 데 그치지 말고, 실제 명제를 다양한 형태로 바꾸어 보며 각 명제의 의미와 진릿값의 관계를 스스로 분석하는 연습을 충분히 하도록 하자.
You have not completed all required lessons and assessments.