공통수학(2022 개정 교육과정) : 함수 – 무리함수

학습 목표

• 무리함수의 뜻을 이해할 수 있다.

• 무리함수의 정의역을 구할 수 있다.

• 대표적인 무리함수의 그래프를 그릴 수 있다.

• 무리함수의 그래프의 평행이동을 이해할 수 있다.

• 무리함수의 식과 그래프의 관계를 설명할 수 있다.

• 그래프를 이용하여 함수값과 함수의 성질을 해석할 수 있다.

1. 무리함수란?

우리는 제곱근이 포함된 식을 자주 접한다.

예를 들어,

• 정사각형의 넓이로부터 한 변의 길이를 구하는 경우

• 피타고라스 정리를 이용하여 거리나 길이를 구하는 경우

• 물리학에서 속도나 에너지의 관계를 나타내는 경우

등에서 제곱근이 등장한다.

이처럼 식에 근호가 포함된 함수를 무리함수라고 한다.

무리함수

독립변수 (x)가 포함된 식에 근호가 들어 있는 함수

대표적인 무리함수는

$$
y=\sqrt{x}
$$

이다.

2. 가장 기본적인 무리함수

기본적인 무리함수는

$$
y=\sqrt{x}
$$

이다.

제곱근 안의 값은 음수가 될 수 없으므로,

$$
x\ge0
$$

이어야 한다.

따라서 정의역은

$$
x\ge0
$$

이다.

또한,

제곱근의 값은 항상 0 이상이므로

치역은

$$
y\ge0
$$

이다.

3. 함수

$$
y=\sqrt{x}
$$

의 그래프

몇 개의 함수값을 구해 보자.

이를 좌표평면 위에 나타내면,

그래프는

$$
(0,0)
$$

에서 시작하여 오른쪽 위로 완만하게 증가하는 곡선이 된다.

그래프는 제1사분면에만 존재한다.

4. 정의역 구하기

무리함수에서 가장 중요한 것은 정의역을 구하는 것이다.

짝수근이 포함된 경우에는 근호 안의 식이 0 이상이어야 한다.

즉,

정의역 조건

$$
\sqrt{A(x)}
$$

가 포함되어 있으면

$$
A(x)\ge0
$$

이어야 한다.

5. 예제 : 정의역 구하기

함수

$$
y=\sqrt{x-3}
$$

의 정의역을 구하여라.

풀이

근호 안의 식이 0 이상이어야 하므로

$$
x-3\ge0
$$

이다.

따라서

$$
x\ge3
$$

이다.

정의역은

$$
\boxed{x\ge3}
$$

이다.

6. 그래프의 평행이동

기본 그래프

$$
y=\sqrt{x}
$$

를 평행이동하면 다양한 무리함수를 얻을 수 있다.

함수

$$
y=\sqrt{x-p}+q
$$

는

기본 그래프

$$
y=\sqrt{x}
$$

를

• 오른쪽으로 (p)만큼,

• 위쪽으로 (q)만큼

평행이동한 그래프이다.

시작점은

$$
(p,q)
$$

가 된다.

7. 함수

$$
y=\sqrt{x-p}+q
$$

의 정의역과 치역

정의역은

$$
x-p\ge0
$$

이므로,

$$
x\ge p
$$

이다.

또한,

기본 그래프의 치역이

$$
y\ge0
$$

이므로,

위로

$$
q
$$

만큼 이동하면

치역은

$$
y\ge q
$$

가 된다.

정의역

$$
x\ge p
$$

치역

$$
y\ge q
$$

8. 함수

$$
y=-\sqrt{x}
$$

의 그래프

기본 그래프

$$
y=\sqrt{x}
$$

를

$$
x
$$

축에 대하여 대칭이동하면

$$
y=-\sqrt{x}
$$

가 된다.

정의역은 변하지 않으므로

$$
x\ge0
$$

이다.

치역은

$$
y\le0
$$

이다.

그래프는 제4사분면에 위치한다.

9. 예제 1

문제

함수

$$
y=\sqrt{x+2}
$$

의 정의역을 구하여라.

풀이

근호 안의 식이 0 이상이어야 하므로,

$$
x+2\ge0
$$

이다.

따라서

$$
x\ge-2
$$

이다.

정의역은

$$
\boxed{x\ge-2}
$$

이다.

10. 예제 2

문제

함수

$$
y=\sqrt{x-4}+3
$$

의 시작점을 구하여라.

풀이

기본 그래프

$$
y=\sqrt{x}
$$

의 시작점은

$$
(0,0)
$$

이다.

이를 오른쪽으로 4만큼,

위쪽으로 3만큼 이동하였으므로

시작점은

$$
\boxed{(4,3)}
$$

이다.

11. 예제 3

문제

함수

$$
y=-\sqrt{x-1}
$$

의 정의역과 치역을 구하여라.

풀이

정의역은

$$
x-1\ge0
$$

이므로

$$
x\ge1
$$

이다.

또한,

음수 부호가 있으므로

함수값은 항상 0 이하이다.

최댓값은

$$
0
$$

이다.

따라서 치역은

$$
y\le0
$$

이다.

즉,

정의역 :

$$
\boxed{x\ge1}
$$

치역 :

$$
\boxed{y\le0}
$$

이다.

12. 무리함수 그래프 해석

무리함수의 그래프를 통해 다음과 같은 정보를 얻을 수 있다.

• 정의역

• 치역

• 시작점

• 함수값

• 증가와 감소 여부

• 평행이동과 대칭이동

그래프의 형태를 이해하면 식의 특징을 쉽게 파악할 수 있다.

13. 학습 정리

① 무리함수

근호가 포함된 함수

대표적인 형태

$$
y=\sqrt{x}
$$

② 정의역 조건

근호 안의 식은

$$
0
$$

이상이 되어야 한다.

즉,

$$
A(x)\ge0
$$

③ 기본 그래프

$$
y=\sqrt{x}
$$

정의역 :

$$
x\ge0
$$

치역 :

$$
y\ge0
$$

④ 평행이동

$$
y=\sqrt{x-p}+q
$$

시작점 :

$$
(p,q)
$$

정의역 :

$$
x\ge p
$$

치역 :

$$
y\ge q
$$

⑤ 대칭이동

$$
y=-\sqrt{x}
$$

정의역 :

$$
x\ge0
$$

치역 :

$$
y\le0
$$

14. 확인 문제

문제 1

함수

$$
y=\sqrt{x-5}
$$

의 정의역을 구하여라.

문제 2

함수

$$
y=\sqrt{x+1}-2
$$

의 시작점을 구하여라.

문제 3

함수

$$
y=-\sqrt{x+4}
$$

의 정의역과 치역을 구하여라.

문제 4

함수

$$
y=\sqrt{x}
$$

의 그래프를 오른쪽으로 3, 위쪽으로 2만큼 평행이동한 식을 구하여라.

정답

문제 1

$$
x-5\ge0
$$

이므로,

$$
\boxed{x\ge5}
$$

이다.

문제 2

시작점은

$$
\boxed{(-1,-2)}
$$

이다.

문제 3

정의역 :

$$
x+4\ge0
$$

이므로,

$$
\boxed{x\ge-4}
$$

치역 :

$$
\boxed{y\le0}
$$

이다.

문제 4

기본 그래프

$$
y=\sqrt{x}
$$

를 오른쪽으로 3, 위쪽으로 2만큼 이동하면

$$
\boxed{y=\sqrt{x-3}+2}
$$

이다.

마무리

무리함수는 제곱근과 같은 근호가 포함된 함수로, 정의역이 제한된다는 특징을 가진다. 특히 근호 안의 식이 0 이상이어야 한다는 조건은 무리함수를 학습할 때 가장 중요한 핵심 개념이다. 기본 그래프인

$$
y=\sqrt{x}
$$

의 형태와 평행이동, 대칭이동의 원리를 정확히 이해하면 다양한 무리함수의 그래프를 쉽게 해석할 수 있다. 이후 배우게 될 함수의 극한, 미분, 적분 등에서도 무리함수는 자주 등장하므로, 그래프를 직접 그려 보며 정의역과 치역의 변화를 함께 익히도록 하자.