공통수학(2022 개정 교육과정) : 평면좌표 – 중점의 좌표

학습 목표

• 선분의 중점의 의미를 이해할 수 있다.

• 두 점의 좌표를 이용하여 중점의 좌표를 구할 수 있다.

• 중점 공식을 유도할 수 있다.

• 중점 공식을 다양한 문제에 적용할 수 있다.

1. 중점이란?

좌표평면 위의 두 점

$$
A(x_1,y_1), \quad B(x_2,y_2)
$$

를 생각해 보자.

점 (M)이 선분 (AB) 위에 있으면서

$$
AM=MB
$$

를 만족할 때, 점 (M)을 선분 (AB)의 중점이라고 한다.

즉, 중점은 선분을 길이가 같은 두 부분으로 나누는 점이다.

예를 들어, 길이가 10인 선분의 중점은 양 끝점으로부터 각각 5만큼 떨어져 있는 점이다.

2. 중점의 좌표 공식

점

$$
A(x_1,y_1), \quad B(x_2,y_2)
$$

의 중점을 (M)이라고 하자.

중점은 선분을

$$
AM:MB=1:1
$$

의 비로 나누는 점이다.

따라서 중점의 좌표는 두 점의 좌표를 각각 평균하여 구할 수 있다.

즉,

$$
M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)
$$

이다.

중점의 좌표 공식

두 점

$$
A(x_1,y_1), \quad B(x_2,y_2)
$$

의 중점은

$$
M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)
$$

이다.

3. 왜 좌표의 평균이 될까?

중점은 양 끝점으로부터의 거리가 같으므로,

$$
AM:MB=1:1
$$

을 만족한다.

즉, 선분을 정확히 반으로 나누는 점이므로 (x)좌표도 두 점의 중간값,

$$
\frac{x_1+x_2}{2}
$$

가 되고,

(y)좌표도 두 점의 중간값,

$$
\frac{y_1+y_2}{2}
$$

가 된다.

따라서 중점의 좌표는 두 좌표의 산술평균으로 결정된다.

4. 예제 1

문제

두 점

$$
A(2,4), \quad B(8,10)
$$

의 중점을 구하여라.

풀이

중점 공식을 이용하면

$$
M\left(\frac{2+8}{2},\frac{4+10}{2}\right)
$$

$$\left(\frac{10}{2},\frac{14}{2}\right)$$

$$
=(5,7)
$$

따라서

$$
\boxed{M(5,7)}
$$

이다.

5. 예제 2

문제

두 점

$$
A(-3,5), \quad B(7,-1)
$$

의 중점을 구하여라.

풀이

$$
M\left(\frac{-3+7}{2},\frac{5+(-1)}{2}\right)
$$

$$\left(\frac{4}{2},\frac{4}{2}\right)$$

$$
=(2,2)
$$

따라서

$$
\boxed{M(2,2)}
$$

이다.

6. 예제 3

문제

점

$$
A(-4,-2), \quad B(6,8)
$$

의 중점을 구하여라.

풀이

$$
M\left(\frac{-4+6}{2},\frac{-2+8}{2}\right)
$$

$$\left(\frac{2}{2},\frac{6}{2}\right)$$

$$
=(1,3)
$$

따라서

$$
\boxed{M(1,3)}
$$

이다.

7. 중점 공식을 이용한 역문제

중점의 좌표와 한 끝점의 좌표를 알 때 다른 끝점의 좌표를 구할 수도 있다.

문제

중점이

$$
M(4,3)
$$

이고 한 끝점이

$$
A(1,5)
$$

일 때 다른 끝점 (B(x,y))를 구하여라.

풀이

중점 공식에 따라

$$
\frac{1+x}{2}=4
$$

$$
1+x=8
$$

$$
x=7
$$

또한,

$$
\frac{5+y}{2}=3
$$

$$
5+y=6
$$

$$
y=1
$$

따라서

$$
\boxed{B(7,1)}
$$

이다.

8. 실생활 활용

중점은 다양한 분야에서 활용된다.

• 지도에서 두 지점의 중간 위치를 찾을 때

• 건축 설계에서 구조물의 중심 위치를 정할 때

• 컴퓨터 그래픽스에서 두 점 사이의 중간 프레임을 계산할 때

• 게임 프로그래밍에서 캐릭터의 평균 위치를 계산할 때

중점 공식은 가장 기본적이면서도 활용 범위가 매우 넓은 좌표 공식 중 하나이다.

9. 학습 정리

① 중점의 의미

중점은 선분을 같은 길이의 두 부분으로 나누는 점이다.

$$
AM=MB
$$

② 중점의 좌표 공식

$$
M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)
$$

③ 중점의 좌표는 두 점의 좌표의 평균이다.

④ 중점 공식의 역이용을 통해 한 끝점의 좌표를 구할 수도 있다.

10. 확인 문제

문제 1

두 점

$$
A(1,3), \quad B(9,7)
$$

의 중점을 구하여라.

문제 2

두 점

$$
A(-6,4), \quad B(2,-8)
$$

의 중점을 구하여라.

문제 3

중점이

$$
M(2,-1)
$$

이고 한 끝점이

$$
A(-3,5)
$$

일 때 다른 끝점의 좌표를 구하여라.

정답

$$
\boxed{(5,5)}
$$

$$
\boxed{(-2,-2)}
$$

$$
\boxed{(7,-7)}
$$

마무리

중점의 좌표 공식은 두 점의 좌표를 평균하여 얻는 매우 간단한 공식이지만, 해석기하의 여러 개념을 연결하는 중요한 역할을 한다. 이후 배우게 될 내분점, 외분점, 벡터, 도형의 성질 등 다양한 내용의 기초가 되므로 공식의 의미와 활용 방법을 정확히 이해하고 익혀 두는 것이 중요하다.