1. 소인수분해란?
자연수를 소수인 인수들의 곱으로 나타내는 것을 소인수분해라고 한다.
여기서
-
소수: 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 수
-
인수: 어떤 수를 나누어떨어지게 하는 수
예를 들어 12는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$$
12 = 2 \times 2 \times 3
$$
12를 소수들의 곱으로 나타냈으므로 이것이 12의 소인수분해이다.
2. 소인수분해가 가능한 이유
1보다 큰 모든 자연수는
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소수이거나
-
소수들의 곱으로 나타낼 수 있다.
예를 들어
$$
15 = 3 \times 5
$$
$$
18 = 2 \times 3 \times 3
$$
$$
20 = 2 \times 2 \times 5
$$
와 같이 표현할 수 있다.
3. 소인수분해하는 방법
방법 1 : 나눗셈을 이용하는 방법
예제) 60을 소인수분해해 보자.
가장 작은 소수부터 차례로 나눈다.
$$
60 \div 2 = 30
$$
$$
30 \div 2 = 15
$$
$$
15 \div 3 = 5
$$
$$
5 \div 5 = 1
$$
따라서
$$
60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5
$$
지수를 이용하면
$$
60 = 2^2 \times 3 \times 5
$$
방법 2 : 인수분해 나무(가지치기)
예제) 72를 소인수분해해 보자.
먼저
$$
72 = 8 \times 9
$$
그리고
$$
8 = 2 \times 2 \times 2
$$
$$
9 = 3 \times 3
$$
따라서
$$
72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3
$$
즉,
$$
72 = 2^3 \times 3^2
$$
4. 소인수분해를 할 때의 순서
-
가장 작은 소수부터 나눈다.
-
더 이상 나누어지지 않을 때까지 반복한다.
-
남은 수가 소수가 되면 끝낸다.
-
같은 소수는 지수를 사용하여 정리한다.
예를 들어
$$
108 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3
$$
이므로
$$
108 = 2^2 \times 3^3
$$
으로 나타낸다.
5. 소인수분해의 기본 성질
성질 1
소인수분해의 결과는 순서만 다를 뿐 항상 같다.
예를 들어
$$
24 = 2 \times 12
$$
로 시작하든
$$
24 = 4 \times 6
$$
으로 시작하든
최종 결과는
$$
24 = 2^3 \times 3
$$
으로 같다.
성질 2
소수는 자기 자신이 곧 소인수분해 결과이다.
예를 들어
$$
13 = 13
$$
$$
19 = 19
$$
6. 소인수분해의 활용
소인수분해는 다음 단원에서 매우 중요하게 사용된다.
-
약수 구하기
-
공약수 구하기
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최대공약수
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최소공배수
-
분수의 약분
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분수의 통분
따라서 정확하게 소인수분해하는 연습이 필요하다.
7. 예제 문제
예제 1
45를 소인수분해하시오.
풀이
$$
45 = 5 \times 9
$$
$$
9 = 3 \times 3
$$
따라서
$$
45 = 3^2 \times 5
$$
예제 2
84를 소인수분해하시오.
풀이
$$
84 = 2 \times 42
$$
$$
42 = 2 \times 21
$$
$$
21 = 3 \times 7
$$
따라서
$$
84 = 2^2 \times 3 \times 7
$$
예제 3
100을 소인수분해하시오.
풀이
$$
100 = 2 \times 50
$$
$$
50 = 2 \times 25
$$
$$
25 = 5 \times 5
$$
따라서
$$
100 = 2^2 \times 5^2
$$
8. 핵심 정리
-
소인수분해란 자연수를 소수의 곱으로 나타내는 것이다.
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가장 작은 소수부터 차례로 나누어 소인수분해한다.
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같은 소수가 여러 번 나타나면 지수를 사용한다.
-
소인수분해는 최대공약수와 최소공배수를 구할 때 기본이 된다.
대표 예시
$$
12 = 2^2 \times 3
$$
$$
60 = 2^2 \times 3 \times 5
$$
$$
72 = 2^3 \times 3^2
$$
$$
100 = 2^2 \times 5^2
$$