1. 학습 목표
유리수는 정수뿐만 아니라 분수와 소수도 포함하는 수이다.
유리수의 크기를 비교할 수 있어야 수직선 위에 정확하게 나타낼 수 있고, 다양한 계산 문제를 해결할 수 있다.
이 단원에서는 유리수의 대소관계를 알아보고 분수와 소수의 크기를 비교하는 방법을 학습해 보자.
2. 수직선에서의 대소관계
수직선에서 오른쪽에 있는 수가 더 크고 왼쪽에 있는 수가 더 작다.
예를 들어
$$
-4 < -2 < 0 < 3 < 5
$$
이다.
예제 1
다음 수를 작은 수부터 차례로 나열하시오.
$$
3,\ -2,\ 0,\ -5
$$
풀이
수직선에서 왼쪽부터 차례로 나열하면
$$
-5 < -2 < 0 < 3
$$
이다.
3. 양수와 음수의 대소관계
성질 1
모든 양수는 0보다 크다.
예)
$$
5 > 0
$$
$$
\frac{1}{2} > 0
$$
성질 2
모든 음수는 0보다 작다.
예)
$$
-3 < 0
$$
$$
-\frac{2}{5} < 0
$$
성질 3
모든 양수는 모든 음수보다 크다.
예)
$$
1 > -1
$$
$$
\frac{1}{10} > -100
$$
4. 음수끼리의 대소관계
음수는 절댓값이 큰 수가 오히려 더 작다.
예를 들어
$$
-2 > -5
$$
이다.
수직선에서
$$
-5
$$
가 더 왼쪽에 있기 때문이다.
예제 2
다음 중 더 큰 수를 고르시오.
$$
-3,\ -7
$$
풀이
수직선에서
$$
-3
$$
이 더 오른쪽에 있으므로
$$
-3 > -7
$$
이다.
예제 3
다음 수를 작은 수부터 나열하시오.
$$
-1,\ -8,\ -4,\ -2
$$
풀이
$$
-8 < -4 < -2 < -1
$$
이다.
5. 분수의 대소관계
분수는 분모를 같게 만든 후 비교하면 쉽다.
분모가 같은 경우
분모가 같으면 분자가 큰 분수가 더 크다.
예)
$$
\frac{3}{7} > \frac{2}{7}
$$
$$
\frac{5}{9} > \frac{1}{9}
$$
예제 4
다음 중 더 큰 수를 고르시오.
$$
\frac{4}{11},\ \frac{7}{11}
$$
풀이
분모가 같으므로 분자를 비교한다.
$$
7 > 4
$$
따라서
$$
\frac{7}{11} > \frac{4}{11}
$$
이다.
분자가 같은 경우
분자가 같으면 분모가 작은 분수가 더 크다.
예)
$$
\frac{1}{2} > \frac{1}{3}
$$
$$
\frac{5}{6} > \frac{5}{8}
$$
이유
같은 양을 더 적은 수로 나누면 한 조각이 더 크기 때문이다.
예제 5
다음 중 더 큰 수를 고르시오.
$$
\frac{3}{4},\ \frac{3}{5}
$$
풀이
분자가 같으므로 분모를 비교한다.
$$
4 < 5
$$
따라서
$$
\frac{3}{4} > \frac{3}{5}
$$
이다.
6. 분모가 다른 분수의 대소관계
분모가 다르면 통분하여 비교한다.
예제 6
다음 두 분수의 크기를 비교하시오.
$$
\frac{2}{3}, \frac{3}{5}
$$
풀이
분모의 최소공배수는
$$
15
$$
이다.
통분하면
$$
\frac{2}{3}=\frac{10}{15}
$$
$$
\frac{3}{5}=\frac{9}{15}
$$
따라서
$$
\frac{10}{15}
\frac{9}{15}
$$
이므로
$$
\frac{2}{3}>\frac{3}{5}
$$
이다.
예제 7
다음 두 분수의 크기를 비교하시오.
$$
\frac{5}{8}, \frac{7}{12}
$$
풀이
분모의 최소공배수는
$$
24
$$
이다.
통분하면
$$
\frac{5}{8}=\frac{15}{24}
$$
$$
\frac{7}{12}=\frac{14}{24}
$$
따라서
$$
\frac{15}{24} ,\frac{14}{24}
$$
이므로
$$
\frac{5}{8}>\frac{7}{12}
$$
이다.
7. 소수의 대소관계
소수는 소수점 아래 자릿수를 맞춘 후 비교한다.
예제 8
다음 중 더 큰 수를 고르시오.
$$
0.7,\ 0.65
$$
풀이
$$
0.70
$$
과
$$
0.65
$$
를 비교하면
$$
0.70 > 0.65
$$
이다.
따라서
$$
0.7 > 0.65
$$
이다.
예제 9
다음 중 더 큰 수를 고르시오.
$$
1.23,\ 1.203
$$
풀이
자릿수를 맞추면
$$
1.230
$$
$$
1.203
$$
이므로
$$
1.230 > 1.203
$$
이다.
8. 음의 분수와 음의 소수의 대소관계
음수는 절댓값이 작은 수가 더 크다.
예제 10
다음 중 더 큰 수를 고르시오.
$$
-\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}
$$
풀이
$$
\frac{1}{2}<\frac{3}{4}
$$
이므로 음수를 붙이면 순서가 반대가 된다.
$$
-\frac{1}{2}>-\frac{3}{4}
$$
이다.
예제 11
다음 중 더 큰 수를 고르시오.
$$
-0.4,\ -0.6
$$
풀이
수직선에서
$$
-0.4
$$
가 더 오른쪽에 있으므로
$$
-0.4 > -0.6
$$
이다.
9. 수직선에서 유리수 나타내기
유리수는 모두 수직선 위에 나타낼 수 있다.
예를 들어
$$
-\frac{1}{2}
$$
는
$$
0
$$
의 왼쪽 절반 지점에 나타낸다.
또한
$$
\frac{3}{2}=1.5
$$
는
$$
1
$$
과
$$
2
$$
사이에 나타낸다.
10. 예제 문제
문제 1
다음 수를 작은 수부터 나열하시오.
$$
2,\ -1,\ 0,\ -4
$$
풀이
$$
-4 < -1 < 0 < 2
$$
문제 2
다음 두 수의 크기를 비교하시오.
$$
\frac{5}{6}, \frac{4}{5}
$$
풀이
통분하면
$$
\frac{5}{6}=\frac{25}{30}
$$
$$
\frac{4}{5}=\frac{24}{30}
$$
따라서
$$
\frac{5}{6}>\frac{4}{5}
$$
이다.
문제 3
다음 두 수의 크기를 비교하시오.
$$
-0.8,\ -0.3
$$
풀이
음수에서는 절댓값이 큰 수가 더 작다.
따라서
$$
-0.8 < -0.3
$$
이다.
11. 핵심 정리
수직선의 대소관계
오른쪽에 있는 수가 더 크다.
양수와 음수
$$
\text{양수} > 0 > \text{음수}
$$
음수끼리 비교
절댓값이 큰 수가 더 작다.
예)
$$
-7 < -3
$$
분수 비교
-
분모가 같으면 분자가 큰 수가 크다.
-
분자가 같으면 분모가 작은 수가 크다.
-
분모가 다르면 통분하여 비교한다.
소수 비교
소수점 아래 자릿수를 맞춘 후 비교한다.
중요한 예시
$$
-5 < -2 < 0 < \frac{1}{2} < 1
$$
유리수의 대소관계는 항상 수직선에서 생각하면 쉽게 이해할 수 있다.