1. 학습 목표
수학에서는 문자와 등호를 사용하여 수량 사이의 관계를 나타낸다.
이때 등식 중에서 특정한 값에서만 성립하는 식을 방정식이라고 하고, 모든 값에 대하여 항상 성립하는 식을 항등식이라고 한다.
이 단원에서는 방정식과 항등식의 뜻을 이해하고 두 식의 차이를 구별하는 방법을 학습해 보자.
2. 등식이란?
등호
$$=$$
를 사용하여 두 식의 값이 같음을 나타낸 식을 등식이라고 한다.
예
$$
3+2=5
$$
$$
7-4=3
$$
$$
x+2=5
$$
모두 등식이다.
3. 방정식이란?
문자의 값에 따라 성립하기도 하고 성립하지 않기도 하는 등식을 방정식이라고 한다.
즉, 어떤 특정한 값에서만 등식이 참이 되는 식이다.
예제 1
다음 식을 살펴보자.
$$
x+3=7
$$
이 식에서
$$
x=4
$$
를 대입하면
$$
4+3=7
$$
이 되어 참이 된다.
하지만
$$
x=2
$$
를 대입하면
$$
2+3=5
$$
가 되어 거짓이다.
따라서
$$
x+3=7
$$
은 방정식이다.
4. 방정식의 해
방정식을 참이 되게 하는 문자의 값을 방정식의 해라고 한다.
또는 근이라고도 한다.
예제 2
방정식
$$
x+5=9
$$
의 해를 구해 보자.
풀이
$$
x=4
$$
를 대입하면
$$
4+5=9
$$
이므로 성립한다.
따라서 해는
$$
x=4
$$
이다.
5. 항등식이란?
문자에 어떤 값을 넣어도 항상 성립하는 등식을 항등식이라고 한다.
예제 3
다음 식을 살펴보자.
$$
2(x+3)=2x+6
$$
$$
x=1
$$
일 때
$$
2(1+3)=8
$$
$$
2\times1+6=8
$$
$$
x=10
$$
일 때
$$
2(10+3)=26
$$
$$
2\times10+6=26
$$
어떤 값을 대입해도 항상 성립한다.
따라서
$$
2(x+3)=2x+6
$$
은 항등식이다.
6. 방정식과 항등식의 차이
방정식
특정한 값에서만 성립
예)
$$
x+2=5
$$
해는
$$
x=3
$$
뿐이다.
항등식
모든 값에서 성립
예)
$$
3(x+1)=3x+3
$$
모든
$$
x
$$
에 대하여 항상 성립한다.
7. 항등식 확인하기
항등식은 전개하거나 정리하면 양변이 완전히 같아진다.
예제 4
$$
4(x-2)=4x-8
$$
좌변 전개
$$
4(x-2)
$$
$$
=4x-8
$$
우변과 같다.
따라서 항등식이다.
예제 5
$$
x+5=x+2
$$
좌변과 우변을 비교하면
$$
5 \ne 2
$$
이므로 모든 값에서 성립하지 않는다.
항등식이 아니다.
8. 참인 등식과 거짓인 등식
등식은 참인 경우와 거짓인 경우가 있다.
참인 등식
$$
3+4=7
$$
$$
8-2=6
$$
거짓인 등식
$$
5+3=10
$$
$$
7-2=8
$$
방정식은 특정한 값에서만 참이 된다.
항등식은 항상 참이 된다.
9. 방정식의 해 찾기
예제 6
방정식
$$
x-4=2
$$
의 해를 구하시오.
풀이
$$
x=6
$$
을 대입하면
$$
6-4=2
$$
이므로 성립한다.
따라서
$$
x=6
$$
이다.
예제 7
방정식
$$
2x=10
$$
의 해를 구하시오.
풀이
$$
x=5
$$
를 대입하면
$$
2\times5=10
$$
이므로 성립한다.
따라서
$$
x=5
$$
이다.
10. 항등식의 성질
항등식은 문자의 값에 관계없이 항상 성립한다.
따라서 좌변과 우변이 같은 식으로 변형된다.
예제 8
$$
5(a+2)=5a+10
$$
좌변 전개
$$
5a+10
$$
우변
$$
5a+10
$$
따라서 항등식이다.
예제 9
$$
3x+7=3x+7
$$
좌변과 우변이 완전히 같다.
따라서 항등식이다.
11. 활용 문제
문제 1
다음 중 방정식을 고르시오.
$$
x+4=9
$$
$$
2(a+1)=2a+2
$$
풀이
첫 번째 식은 특정한 값에서만 성립하므로 방정식이다.
두 번째 식은 항상 성립하므로 항등식이다.
따라서 방정식은
$$
x+4=9
$$
이다.
문제 2
방정식
$$
x+7=12
$$
의 해를 구하시오.
풀이
$$
x=5
$$
이다.
문제 3
다음 식이 항등식인지 판단하시오.
$$
6(x-1)=6x-6
$$
풀이
좌변을 전개하면
$$
6x-6
$$
이다.
우변과 같으므로 항등식이다.
문제 4
다음 식이 항등식인지 판단하시오.
$$
x+1=x+3
$$
풀이
양변의 상수항이 다르다.
따라서 항등식이 아니다.
12. 핵심 정리
등식
등호
$$=$$
를 사용하여 두 식의 값이 같음을 나타낸 식
방정식
특정한 값에서만 성립하는 등식
예)
$$
x+3=7
$$
해
방정식을 참이 되게 하는 값
예)
$$
x+3=7
$$
의 해는
$$
x=4
$$
항등식
모든 값에 대하여 항상 성립하는 등식
예)
$$
2(x+1)=2x+2
$$
방정식과 항등식 비교
방정식
-
특정한 값에서만 성립
-
해가 존재
항등식
-
모든 값에서 성립
-
항상 참
반드시 기억할 내용
$$
x+2=5
$$
는 방정식
$$
3(x+1)=3x+3
$$
은 항등식
방정식은 특정한 값에서만 참이 되고, 항등식은 어떤 값을 대입해도 항상 참이 된다.