1. 학습 목표
지금까지 우리는 자연수를 이용하여 수를 나타내고 계산해 왔다.
하지만 일상생활에서는 자연수만으로 표현할 수 없는 상황이 많이 있다.
예를 들어
-
영하 5도
-
지하 3층
-
1/2개
-
0.75kg
와 같은 수를 표현하려면 새로운 수의 개념이 필요하다.
이 단원에서는 정수와 유리수의 뜻을 알아보고 수의 범위를 확장해 보자.
2. 자연수와 0
자연수는 물건의 개수를 셀 때 사용하는 수이다.
예를 들면
$$
1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ \cdots
$$
이다.
또한 아무것도 없는 상태를 나타내는 수
$$
0
$$
도 자주 사용한다.
예)
-
사과가 0개 있다.
-
점수가 0점이다.
3. 음수의 필요성
자연수와 0만으로는 다음과 같은 상황을 표현할 수 없다.
예 1
현재 기온이 영하 3도이다.
예 2
엘리베이터가 지하 2층에 있다.
예 3
통장 잔액보다 5만원을 더 사용했다.
이와 같은 경우를 나타내기 위해 음수를 사용한다.
4. 양수와 음수
양수
0보다 큰 수를 양수라고 한다.
예)
$$
1,\ 2,\ 3,\ 10,\ 100
$$
양수는 보통
$$
+3
$$
처럼 + 기호를 붙일 수 있지만 일반적으로는 생략한다.
즉
$$
+3 = 3
$$
이다.
음수
0보다 작은 수를 음수라고 한다.
예)
$$
-1,\ -2,\ -5,\ -10
$$
음수는 반드시 – 기호를 붙여 나타낸다.
0의 위치
0은 양수도 아니고 음수도 아니다.
즉,
$$0$$ 은 양수와 음수를 나누는 기준이 되는 수이다.
5. 정수의 뜻
양의 정수, 0, 음의 정수를 모두 합한 수를 정수라고 한다.
정수는 다음과 같다.
$$
\cdots,\ -5,\ -4,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ \cdots
$$
정수의 분류
양의 정수
$$
1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \cdots
$$
0
$$
0
$$
음의 정수
$$
-1,\ -2,\ -3,\ -4,\ \cdots
$$
예제 1
다음 수 중 정수를 모두 찾으시오.
$$
-5,\ 0,\ \frac{1}{2},\ 8,\ -3
$$
풀이
정수는 소수나 분수가 아닌 수이다.
따라서
$$
-5,\ 0,\ 8,\ -3
$$
이 정수이다.
6. 수직선과 정수
정수는 수직선 위에 나타낼 수 있다.
수직선에서
-
오른쪽으로 갈수록 큰 수
-
왼쪽으로 갈수록 작은 수
가 된다.
예를 들어
$$
-3 < -1 < 0 < 2 < 5
$$
이다.
정수의 크기 비교
수직선에서 오른쪽에 있는 수가 더 크다.
예)
$$
-2 > -5
$$
$$
3 > -1
$$
$$
0 > -4
$$
7. 유리수의 뜻
정수만으로는 모든 수를 표현할 수 없다.
예를 들어
$$
\frac{1}{2}
$$
$$
\frac{3}{4}
$$
$$
-\frac{2}{5}
$$
와 같은 수가 있다.
이러한 수를 포함하기 위해 유리수라는 개념을 사용한다.
유리수의 정의
분모가 0이 아닌 두 정수 $$a$$, $$b$$에 대하여
$$
\frac{a}{b}
$$
의 꼴로 나타낼 수 있는 수를 유리수라고 한다.
단,
$$
b \ne 0
$$
이어야 한다.
유리수의 예
$$
\frac{1}{2}
$$
$$
-\frac{3}{4}
$$
$$
\frac{7}{5}
$$
$$
\frac{-8}{3}
$$
모두 유리수이다.
8. 정수도 유리수일까?
정수는 모두 유리수이다.
왜냐하면 정수는 다음과 같이 분수로 나타낼 수 있기 때문이다.
예를 들어
$$
3=\frac{3}{1}
$$
$$
-5=\frac{-5}{1}
$$
$$
0=\frac{0}{1}
$$
따라서 모든 정수는 유리수에 포함된다.
9. 유한소수와 순환소수
유리수는 소수로 나타낼 수도 있다.
예를 들어
$$
\frac{1}{2}=0.5
$$
$$
\frac{3}{4}=0.75
$$
처럼 소수점 아래가 끝나는 소수를 유한소수라고 한다.
또한
$$
\frac{1}{3}=0.3333\cdots
$$
$$
\frac{2}{11}=0.181818\cdots
$$
처럼 일정한 숫자가 반복되는 소수를 순환소수라고 한다.
유한소수와 순환소수는 모두 유리수이다.
10. 정수와 유리수의 포함 관계
자연수는 정수에 포함되고,
정수는 유리수에 포함된다.
즉
$$
\text{자연수}
\subset
\text{정수}
\subset
\text{유리수}
$$
이다.
예를 들어
$$
5
$$
는 자연수이면서 정수이고 유리수이다.
11. 예제 문제
예제 2
다음 수 중 음수를 모두 찾으시오.
$$
-3,\ 2,\ 0,\ -7,\ 5
$$
풀이
0보다 작은 수는
$$
-3,\ -7
$$
이다.
예제 3
다음 수 중 유리수를 모두 찾으시오.
$$
\frac{2}{3},\ -4,\ \frac{5}{8},\ 0
$$
풀이
분수의 꼴로 나타낼 수 있으므로
모두 유리수이다.
예제 4
다음 수를 유리수의 꼴로 나타내시오.
$$
7
$$
풀이
$$
7=\frac{7}{1}
$$
따라서 유리수이다.
12. 핵심 정리
양수
$$
1,\ 2,\ 3,\ \cdots
$$
0보다 큰 수
음수
$$
-1,\ -2,\ -3,\ \cdots
$$
0보다 작은 수
정수
$$
\cdots,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots
$$
양의 정수, 0, 음의 정수를 모두 포함한다.
유리수
$$
\frac{a}{b}
$$
의 꼴로 나타낼 수 있는 수
단,
$$
b \ne 0
$$
포함 관계
$$
\text{자연수}
\subset
\text{정수}
\subset
\text{유리수}
$$
즉, 모든 자연수는 정수이고, 모든 정수는 유리수이다.