1. 학습 목표

최대공약수와 최소공배수는 단순히 계산하는 것에서 끝나지 않는다.

실생활 문제에서는 어떤 상황에서 최대공약수를 사용해야 하는지, 어떤 상황에서 최소공배수를 사용해야 하는지를 판단하는 것이 중요하다.

이 단원에서는 다양한 활용 문제를 통해 최대공약수와 최소공배수의 의미를 이해해 보자.

2. 최대공약수의 활용

최대공약수는 주로 다음과 같은 상황에서 사용한다.

  • 물건을 남김없이 똑같이 나눌 때

  • 가장 큰 단위로 묶을 때

  • 같은 개수씩 포장할 때

  • 정사각형 모양으로 자를 때

즉,

“남김없이 똑같이 나눈다”

라는 말이 나오면 최대공약수를 떠올려야 한다.

예제 1

사과 24개와 배 36개를 남김없이 똑같이 나누어 상자에 담으려고 한다.

만들 수 있는 상자의 최대 개수는?

풀이

24와 36의 최대공약수를 구한다.

$$
24 = 2^3 \times 3
$$

$$
36 = 2^2 \times 3^2
$$

공통인 소인수의 지수가 작은 것을 선택하면

$$
\gcd(24,36)=2^2 \times 3
$$

$$
=12
$$

따라서

$$
12
$$

개의 상자를 만들 수 있다.

예제 2

가로가 48cm, 세로가 60cm인 직사각형 종이를 잘라 가장 큰 정사각형을 만들려고 한다.

정사각형 한 변의 길이는?

풀이

정사각형의 한 변은 가로와 세로를 모두 나누어야 한다.

따라서

$$
\gcd(48,60)
$$

을 구한다.

$$
48 = 2^4 \times 3
$$

$$
60 = 2^2 \times 3 \times 5
$$

$$
\gcd(48,60)=2^2 \times 3
$$

$$
=12
$$

따라서 정사각형 한 변의 길이는

$$
12cm
$$

이다.

3. 최소공배수의 활용

최소공배수는 다음과 같은 상황에서 사용한다.

  • 동시에 일어나는 시점을 구할 때

  • 일정한 간격으로 반복되는 현상

  • 주기가 다른 두 사건이 다시 만나는 시점

즉,

“다시 함께”

“동시에”

라는 말이 나오면 최소공배수를 생각해야 한다.

예제 3

A 버스는 12분마다 출발하고

B 버스는 18분마다 출발한다.

두 버스가 동시에 출발한 후 다시 함께 출발하는 시간은?

풀이

12와 18의 최소공배수를 구한다.

$$
12 = 2^2 \times 3
$$

$$
18 = 2 \times 3^2
$$

모든 소인수를 사용하고 지수는 큰 것을 선택한다.

$$
\operatorname{lcm}(12,18)=2^2 \times 3^2
$$

$$
=36
$$

따라서

$$
36분
$$

후에 다시 함께 출발한다.

예제 4

종이 울리는 간격이 각각

8초와 12초인 두 종이 동시에 울렸다.

다음에 다시 동시에 울리는 것은 몇 초 후인가?

풀이

$$
8 = 2^3
$$

$$
12 = 2^2 \times 3
$$

따라서

$$
\operatorname{lcm}(8,12)=2^3 \times 3
$$

$$
=24
$$

따라서

$$
24초
$$

후에 다시 동시에 울린다.

4. 최대공약수와 최소공배수 구별하기

문제를 읽고 어떤 개념을 사용해야 하는지 판단하는 것이 중요하다.

최대공약수를 사용하는 경우
특징

  • 남김없이 나눈다.

  • 똑같이 묶는다.

  • 가장 크게 자른다.

  • 같은 개수로 포장한다.

예시

  • 과자를 상자에 똑같이 담기

  • 색종이를 가장 큰 정사각형으로 자르기

  • 학생들을 같은 인원으로 조 편성하기

최소공배수를 사용하는 경우
특징

  • 동시에 일어난다.

  • 다시 만난다.

  • 주기가 반복된다.

  • 같은 시점이 된다.

예시

  • 버스가 다시 함께 출발하는 시간

  • 신호등이 다시 동시에 바뀌는 시간

  • 종이 다시 함께 울리는 시간

5. 활용 문제
문제 1

초콜릿 30개와 사탕 45개를 남김없이 똑같이 나누어 봉지에 담으려고 한다.

만들 수 있는 봉지의 최대 개수는?

풀이

$$
30 = 2 \times 3 \times 5
$$

$$
45 = 3^2 \times 5
$$

$$
\gcd(30,45)=3 \times 5
$$

$$
=15
$$

따라서

$$
15
$$

개의 봉지를 만들 수 있다.

문제 2

신호등 A는 15초마다 바뀌고,

신호등 B는 20초마다 바뀐다.

두 신호등이 동시에 바뀐 후 다시 동시에 바뀌는 것은 몇 초 후인가?

풀이

$$
15 = 3 \times 5
$$

$$
20 = 2^2 \times 5
$$

$$
\operatorname{lcm}(15,20)=2^2 \times 3 \times 5
$$

$$
=60
$$

따라서

$$
60초
$$

후이다.

문제 3

가로가 72cm, 세로가 96cm인 직사각형 종이를 가장 큰 정사각형으로 자르려고 한다.

정사각형 한 변의 길이는?

풀이

$$
72 = 2^3 \times 3^2
$$

$$
96 = 2^5 \times 3
$$

$$
\gcd(72,96)=2^3 \times 3
$$

$$
=24
$$

따라서

$$
24cm
$$

이다.

6. 생활 속 최대공약수와 최소공배수

최대공약수와 최소공배수는 다양한 분야에서 활용된다.

최대공약수

  • 포장하기

  • 자르기

  • 그룹 만들기

  • 배열하기

최소공배수

  • 교통 시간표

  • 신호등 주기

  • 운동 경기 일정

  • 반복되는 기계 작동 시간

7. 핵심 정리
최대공약수

다음과 같은 표현이 보이면 사용한다.

  • 남김없이

  • 똑같이

  • 가장 크게

  • 같은 수로

예)

$$
\gcd(24,36)=12
$$

최소공배수

다음과 같은 표현이 보이면 사용한다.

  • 동시에

  • 다시 만나기

  • 반복

  • 같은 시각

예)

$$
\operatorname{lcm}(12,18)=36
$$

기억할 문장

  • 남김없이 똑같이 나누면 최대공약수

  • 다시 함께 만나면 최소공배수

이 두 문장을 기억하면 대부분의 활용 문제를 쉽게 해결할 수 있다.

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