1. 학습 목표
유리수의 곱셈과 나눗셈은 정수의 곱셈과 나눗셈의 원리를 확장한 것이다.
특히 부호의 계산 규칙과 분수의 곱셈, 나눗셈 방법을 정확하게 이해하는 것이 중요하다.
이 단원에서는 유리수의 곱셈과 나눗셈의 계산 원리를 알아보고 다양한 문제를 해결해 보자.
2. 정수의 곱셈
정수의 곱셈에서는 부호를 먼저 결정하고 절댓값을 곱한다.
같은 부호끼리 곱할 때
결과는 양수이다.
$$
(+)\times(+)=+
$$
$$
(-)\times(-)=+
$$
예제 1
$$
(+3)\times(+4)
$$
$$
=12
$$
예제 2
$$
(-5)\times(-2)
$$
$$
=10
$$
다른 부호끼리 곱할 때
결과는 음수이다.
$$
(+)\times(-)=-
$$
$$
(-)\times(+) = –
$$
예제 3
$$
(+6)\times(-2)
$$
$$
=-12
$$
예제 4
$$
(-8)\times(+3)
$$
$$
=-24
$$
3. 정수의 나눗셈
정수의 나눗셈도 곱셈과 같은 부호 규칙을 사용한다.
같은 부호
결과는 양수
$$
(+)\div(+)=+
$$
$$
(-)\div(-)=+
$$
예제 5
$$
12\div3=4
$$
예제 6
$$
(-20)\div(-4)=5
$$
다른 부호
결과는 음수
$$
(+)\div(-)=-
$$
$$
(-)\div(+)=-
$$
예제 7
$$
18\div(-3)=-6
$$
예제 8
$$
(-24)\div6=-4
$$
4. 유리수의 곱셈
분수의 곱셈은 분자끼리 곱하고 분모끼리 곱한다.
기본 공식
$$
\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}
$$
단,
$$b\ne0,\quad d\ne0$$
(분수의 분모에는 기준량이 0 이 될수없기 때문에 “0” 을 사용할 수 없습니다. )
예제 9
$$
\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}
$$
풀이
$$
=\frac{2\times4}{3\times5}
$$
$$
=\frac{8}{15}
$$
예제 10
$$
\frac{3}{7}\times\frac{14}{15}
$$
풀이
$$
=\frac{42}{105}
$$
약분하면
$$
=\frac{2}{5}
$$
5. 부호가 있는 분수의 곱셈
정수와 마찬가지로 부호를 먼저 결정한다.
예제 11
$$
-\frac{2}{3}\times\frac{5}{7}
$$
풀이
부호가 다르므로
$$
(-)\times(+)=(-)
$$
절댓값을 곱하면
$$
\frac{2\times5}{3\times7}=\frac{10}{21}
$$
따라서
$$
-\frac{10}{21}
$$
이다.
예제 12
$$
-\frac{3}{4}\times-\frac{8}{9}
$$
풀이
부호가 같으므로 결과는 양수이다.
$$
\frac{3\times8}{4\times9}
$$
$$
=\frac{24}{36}
$$
$$
=\frac{2}{3}
$$
6. 곱셈의 계산 순서
가능하면 먼저 약분한 후 계산하면 편리하다.
예제 13
$$
\frac{4}{9}\times\frac{3}{8}
$$
풀이
약분하면
$$
\frac{4}{9}\times\frac{3}{8}=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}
$$
따라서
$$
=\frac{1}{6}
$$
이다.
7. 유리수의 나눗셈
나눗셈은 곱셈으로 바꾸어 계산한다.
기본 공식
$$
\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}
$$
즉,
나누는 수의 분자와 분모를 바꾸어 곱한다.
이를 역수라고 한다.
8. 역수
어떤 수와 곱하여 1이 되는 수를 역수라고 한다.
예를 들어
$$
\frac{3}{5}
$$
의 역수는
$$
\frac{5}{3}
$$
이다.
왜냐하면
$$
\frac{3}{5}\times\frac{5}{3}=1
$$
이기 때문이다.
예제 14
$$\frac{2}{3}\div\frac{4}{5}$$
풀이
$$\frac{2}{3}\times\frac{5}{4}$$
$$\frac{10}{12}$$
$$\frac{5}{6}$$
예제 15
$$
\frac{7}{8}\div\frac{14}{3}
$$
풀이
$$\frac{7}{8}\times\frac{3}{14}$$
약분하면
$$\frac{1}{4}\times\frac{3}{2}$$
$$\frac{3}{8}$$
9. 부호가 있는 유리수의 나눗셈
부호 규칙은 곱셈과 같다.
예제 16
$$
-\frac{2}{5}\div\frac{3}{4}
$$
풀이
$$-\frac{2}{5}\times\frac{4}{3}$$
$$-\frac{8}{15}$$
예제 17
$$-\frac{3}{7}\div-\frac{9}{14}$$
풀이
$$-\frac{3}{7}\times-\frac{14}{9}$$
부호가 같으므로 결과는 양수이다.
$$\frac{42}{63}$$
$$\frac{2}{3}$$
10. 0과의 계산
곱셈
어떤 수에 0을 곱하면 결과는 0이다.
$$
5\times0=0
$$
$$
-\frac{3}{4}\times0=0
$$
나눗셈
0을 어떤 수로 나누면 0이다.
$$
0\div5=0
$$
주의
어떤 수를 0으로 나눌 수는 없다.
$$
5\div0
$$
은 계산할 수 없다.
11. 활용 문제
문제 1
$$
-\frac{4}{5}\times\frac{10}{3}
$$
풀이
$$-\frac{40}{15}$$
$$-\frac{8}{3}$$
문제 2
$$
\frac{9}{10}\div\frac{3}{5}
$$
풀이
$$\frac{9}{10}\times\frac{5}{3}$$
$$\frac{45}{30}$$
$$\frac{3}{2}$$
문제 3
$$-\frac{2}{3}\div-\frac{1}{6}$$
풀이
$$-\frac{2}{3}\times-\frac{6}{1}$$
$$\frac{12}{3}$$
$$=4$$
문제 4
$$\frac{5}{12}\times\frac{18}{25}$$
풀이
약분하면
$$\frac{1}{2}\times\frac{3}{5}$$
$$\frac{3}{10}$$
12. 핵심 정리
유리수의 곱셈
$$\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$$
유리수의 나눗셈
$$
\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}
$$
부호 규칙
같은 부호
$$
(+)\times(+)=+
$$
$$
(-)\times(-)=+
$$
다른 부호
$$
(+)\times(-)=-
$$
$$
(-)\times(+)=-
$$
중요한 주의사항
-
나눗셈은 반드시 역수를 곱하는 형태로 바꾼다.
-
계산 전에 약분하면 계산이 쉬워진다.
-
어떤 수를 0으로 나눌 수는 없다.
반드시 기억할 계산
$$
\frac{2}{3}\div\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\times\frac{5}{4}=\frac{5}{6}
$$
유리수의 나눗셈은 “역수를 곱한다”는 원리를 기억하면 쉽게 해결할 수 있다.