1. 학습 목표
일차방정식은 문자를 포함한 등식 중에서 문자의 차수가 1인 방정식이다.
일차방정식을 푸는 과정은 등식의 성질을 이용하여 문자가 한쪽에만 남도록 정리하는 것이다.
이 단원에서는 일차방정식의 뜻과 풀이 과정을 이해하고 다양한 형태의 일차방정식을 해결하는 방법을 학습해 보자.
2. 일차방정식이란?
문자의 차수가 1인 방정식을 일차방정식이라고 한다.
예를 들면
$$
x+3=7
$$
$$
2x-5=9
$$
$$
5x+1=3x+7
$$
은 모두 일차방정식이다.
일차방정식의 일반형
일차방정식은 일반적으로
$$
ax+b=0
$$
의 형태로 나타낼 수 있다.
단,
$$
a\ne0
$$
이다.
3. 방정식의 해
방정식을 참이 되게 하는 문자의 값을 해 또는 근이라고 한다.
예제 1
방정식
$$
x+4=9
$$
의 해를 구해 보자.
풀이
$$
x=5
$$
를 대입하면
$$
5+4=9
$$
이므로 성립한다.
따라서 해는
$$
x=5
$$
이다.
4. 등식의 성질
방정식을 풀 때 가장 중요한 원리이다.
성질 1
등식의 양변에 같은 수를 더해도 등식은 성립한다.
$$
a=b
$$
이면
$$
a+c=b+c
$$
성질 2
등식의 양변에서 같은 수를 빼도 등식은 성립한다.
$$
a=b
$$
이면
$$
a-c=b-c
$$
성질 3
등식의 양변에 같은 수를 곱해도 등식은 성립한다.
$$
a=b
$$
이면
$$
ac=bc
$$
성질 4
등식의 양변을 0이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다.
$$
a=b
$$
이면
$$
\frac{a}{c}=\frac{b}{c}
$$
단,
$$
c\ne0
$$
이다.
5. 가장 기본적인 일차방정식
예제 2
$$
x+3=8
$$
풀이
양변에서 3을 뺀다.
$$
x+3-3=8-3
$$
$$
x=5
$$
따라서 해는
$$
x=5
$$
이다.
예제 3
$$
x-7=4
$$
풀이
양변에 7을 더한다.
$$
x-7+7=4+7
$$
$$
x=11
$$
따라서 해는
$$
x=11
$$
이다.
6. 계수가 있는 일차방정식
예제 4
$$
3x=15
$$
풀이
양변을 3으로 나눈다.
$$
\frac{3x}{3}=\frac{15}{3}
$$
$$
x=5
$$
이다.
예제 5
$$
-2x=8
$$
풀이
양변을
$$
-2
$$
로 나눈다.
$$
x=-4
$$
이다.
7. 덧셈과 뺄셈이 함께 있는 경우
예제 6
$$
2x+5=13
$$
풀이
양변에서 5를 뺀다.
$$
2x=8
$$
양변을 2로 나눈다.
$$
x=4
$$
이다.
예제 7
$$
4x-3=17
$$
풀이
양변에 3을 더한다.
$$
4x=20
$$
양변을 4로 나눈다.
$$
x=5
$$
이다.
8. 문자가 양변에 있는 경우
문자를 한쪽으로 모은 후 계산한다.
예제 8
$$
5x+2=2x+11
$$
풀이
양변에서
$$
2x
$$
를 뺀다.
$$
3x+2=11
$$
양변에서 2를 뺀다.
$$
3x=9
$$
양변을 3으로 나눈다.
$$
x=3
$$
이다.
예제 9
$$
7x-4=3x+12
$$
풀이
양변에서
$$
3x
$$
를 뺀다.
$$
4x-4=12
$$
양변에 4를 더한다.
$$
4x=16
$$
양변을 4로 나눈다.
$$
x=4
$$
이다.
9. 괄호가 있는 일차방정식
먼저 괄호를 풀어야 한다.
예제 10
$$
2(x+3)=14
$$
풀이
분배법칙을 이용한다.
$$
2x+6=14
$$
양변에서 6을 뺀다.
$$
2x=8
$$
$$
x=4
$$
이다.
예제 11
$$
3(x-2)=12
$$
풀이
$$
3x-6=12
$$
양변에 6을 더한다.
$$
3x=18
$$
$$
x=6
$$
이다.
10. 분수가 있는 일차방정식
분모를 없애면 계산이 쉬워진다.
예제 12
$$
\frac{x}{2}=5
$$
풀이
양변에 2를 곱한다.
$$
x=10
$$
이다.
예제 13
$$
\frac{x}{3}+2=6
$$
풀이
양변에서 2를 뺀다.
$$
\frac{x}{3}=4
$$
양변에 3을 곱한다.
$$
x=12
$$
이다.
11. 검산하기
구한 해를 원래 방정식에 대입하여 확인한다.
예제 14
방정식
$$
2x+3=11
$$
의 해가
$$
x=4
$$
인지 확인해 보자.
대입하면
$$
2\times4+3
$$
$$
=8+3
$$
$$
=11
$$
성립하므로 정답이다.
12. 활용 문제
문제 1
$$
x+8=15
$$
풀이
$$
x=7
$$
문제 2
$$
3x=27
$$
풀이
$$
x=9
$$
문제 3
$$
2x+7=19
$$
풀이
$$
2x=12
$$
$$
x=6
$$
문제 4
$$
5x-4=21
$$
풀이
$$
5x=25
$$
$$
x=5
$$
문제 5
$$
4x+3=2x+13
$$
풀이
$$
2x+3=13
$$
$$
2x=10
$$
$$
x=5
$$
13. 핵심 정리
일차방정식
문자의 차수가 1인 방정식
예)
$$
2x+3=7
$$
방정식 풀이 순서
-
괄호를 푼다.
-
문자를 한쪽으로 모은다.
-
숫자를 반대쪽으로 모은다.
-
양변을 계수로 나눈다.
-
검산한다.
등식의 성질
$$
a=b
$$
이면
$$
a+c=b+c
$$
$$
a-c=b-c
$$
$$
ac=bc
$$
$$
\frac{a}{c}=\frac{b}{c}
$$
단,
$$
c\ne0
$$
반드시 기억할 내용
$$
2x+5=13
$$
이면
$$
2x=8
$$
$$
x=4
$$
이다.
일차방정식을 풀 때는 항상 문자는 한쪽으로, 숫자는 다른 쪽으로 모아 정리하는 습관을 가지는 것이 중요하다.