1. 학습 목표
실생활에서는 한 양이 증가할 때 다른 양도 일정한 비율로 증가하는 경우가 많다.
예를 들어 물건의 개수와 가격, 이동 시간과 이동 거리 등이 있다.
이처럼 두 양이 일정한 비율로 함께 변하는 관계를 정비례라고 한다.
이 단원에서는 정비례의 뜻과 식, 그래프의 특징을 학습해 보자.
—
2. 정비례란?
두 양
$$
x
$$
와
$$
y
$$
에 대하여
$$
x
$$
의 값이 변할 때
$$
y
$$
의 값도 일정한 비율로 변하는 관계를 정비례라고 한다.
—
정비례의 조건
$$
x \ne 0
$$
일 때
$$
\frac{y}{x}
$$
의 값이 항상 일정하다.
—
즉,
$$
\frac{y}{x}=a
$$
가 항상 성립한다.
여기서
$$
a
$$
를 비례상수라고 한다.
—
3. 정비례식
정비례 관계를 식으로 나타내면
$$
y=ax
$$
의 꼴이 된다.
단,
$$
a
$$
는 0이 아닌 상수이다.
—
예제 1
$$
y=3x
$$
는 정비례식이다.
왜냐하면
$$
\frac{y}{x}=\frac{3x}{x}=3
$$
으로 일정하기 때문이다.
—
예제 2
$$
y=-2x
$$
도 정비례식이다.
비례상수는
$$
-2
$$
이다.
—
4. 비례상수 구하기
정비례식
$$
y=ax
$$
에서
$$
a
$$
를 비례상수라고 한다.
—
예제 3
정비례식
$$
y=5x
$$
의 비례상수를 구하시오.
풀이
$$
a=5
$$
이다.
—
예제 4
정비례식
$$
y=-4x
$$
의 비례상수를 구하시오.
풀이
$$
a=-4
$$
이다.
—
5. 정비례 여부 판단하기
—
예제 5
다음 표가 정비례인지 알아보자.
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
|—|—|—|—|—|
| y | 2 | 4 | 6 | 8 |
—
각 값에 대하여
$$
\frac{y}{x}
$$
를 구하면
$$
\frac{2}{1}=2
$$
$$
\frac{4}{2}=2
$$
$$
\frac{6}{3}=2
$$
$$
\frac{8}{4}=2
$$
항상 같다.
따라서 정비례이다.
—
예제 6
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
|—|—|—|—|—|
| y | 2 | 5 | 8 | 11 |
—
$$
\frac{2}{1}=2
$$
$$
\frac{5}{2}=2.5
$$
비율이 일정하지 않다.
따라서 정비례가 아니다.
—
6. 정비례식 만들기
—
예제 7
비례상수가
$$
4
$$
인 정비례식을 구하시오.
풀이
$$
y=4x
$$
이다.
—
예제 8
점
$$
(2,\ 10)
$$
을 지나는 정비례식을 구하시오.
풀이
정비례식은
$$
y=ax
$$
이다.
점
$$
(2,\ 10)
$$
을 대입하면
$$
10=2a
$$
$$
a=5
$$
따라서
$$
y=5x
$$
이다.
—
7. 정비례 그래프
정비례식
$$
y=ax
$$
의 그래프는 직선이다.
—
특징 1
반드시 원점을 지난다.
즉,
$$
(0,\ 0)
$$
을 지난다.
—
왜냐하면
$$
x=0
$$
이면
$$
y=a \times 0 =0
$$
이기 때문이다.
—
특징 2
직선의 모양이다.
—
특징 3
비례상수에 따라 기울기가 달라진다.
—
8. 그래프의 모양
—
예제 9
$$
y=x
$$
의 그래프
원점을 지나며 오른쪽 위로 올라가는 직선이다.
—
예제 10
$$
y=2x
$$
의 그래프
원점을 지나며
$$
y=x
$$
보다 더 가파르게 올라간다.
—
예제 11
$$
y=-x
$$
의 그래프
원점을 지나며 오른쪽으로 갈수록 내려간다.
—
# 9. 실생활 속 정비례
—
예제 12
사과 한 개의 가격이
$$
1000
$$
원이라고 하자.
사과를
$$
x
$$
개 사면 가격은
$$
y
$$
원이다.
그러면
$$
y=1000x
$$
이다.
정비례 관계이다.
—
예제 13
시속
$$
60km
$$
로 일정하게 이동한다고 하자.
이동 시간을
$$
x
$$
시간,
이동 거리를
$$
y
$$
km라고 하면
$$
y=60x
$$
이다.
정비례 관계이다.
—
10. 활용 문제
## 문제 1
다음 중 정비례식을 고르시오.
$$
y=3x
$$
$$
y=x+3
$$
풀이
정비례식은
$$
y=3x
$$
이다.
—
문제 2
정비례식
$$
y=7x
$$
의 비례상수를 구하시오.
풀이
$$
7
$$
이다.
—
문제 3
점
$$
(3,\ 12)
$$
를 지나는 정비례식을 구하시오.
풀이
$$
12=3a
$$
$$
a=4
$$
따라서
$$
y=4x
$$
이다.
—
문제 4
정비례식
$$
y=2x
$$
에서
$$
x=5
$$
일 때
$$
y
$$
의 값을 구하시오.
풀이
$$
y=2 \times 5
$$
$$
=10
$$
이다.
—
## 문제 5
정비례식
$$
y=-3x
$$
에서
$$
x=-2
$$
일 때
$$
y
$$
의 값을 구하시오.
풀이
$$
y=-3 \times (-2)
$$
$$
=6
$$
이다.
—
11. 핵심 정리
정비례
두 양의 비
$$
\frac{y}{x}
$$
가 항상 일정한 관계
—
정비례식
$$
y=ax
$$
단,
$$
a \ne 0
$$
—
비례상수
$$
a
$$
—
그래프의 특징
– 직선이다.
– 원점을 지난다.
– 비례상수에 따라 기울기가 달라진다.
—
정비례 여부 확인
$$
\frac{y}{x}
$$
의 값이 항상 일정한지 확인한다.
—
반드시 기억할 내용
정비례는
$$
y=ax
$$
의 형태로 나타내며,
그래프는 반드시 원점
$$
(0,\ 0)
$$
을 지나는 직선이다.
또한
$$
\frac{y}{x}
$$
의 값은 항상 비례상수
$$
a
$$
와 같다.