1. 학습 목표
실생활에서는 한 양이 증가할수록 다른 양이 감소하는 관계를 자주 볼 수 있다.
예를 들어 일정한 거리를 이동할 때 속력이 빨라지면 걸리는 시간은 짧아지고, 여러 사람이 함께 일을 하면 한 사람이 해야 하는 일의 양은 줄어든다.
이처럼 두 양의 곱이 일정한 관계를 반비례라고 한다.
이 단원에서는 반비례의 뜻과 식, 그래프의 특징을 학습해 보자.
—
2. 반비례란?
두 양
$$
x
$$
와
$$
y
$$
에 대하여
$$
x
$$
의 값이 변할 때
$$
x \times y
$$
의 값이 항상 일정한 관계를 반비례라고 한다.
—
반비례의 조건
$$
xy=a
$$
여기서
$$
a
$$
는 0이 아닌 일정한 수이다.
—
즉,
$$
x \times y
$$
의 값이 항상 같으면 반비례이다.
—
3. 반비례식
반비례 관계를 식으로 나타내면
$$
y=\frac{a}{x}
$$
의 꼴이 된다.
단,
$$
a \ne 0
$$
$$
x \ne 0
$$
이다.
—
예제 1
$$
y=\frac{12}{x}
$$
는 반비례식이다.
왜냐하면
$$
xy=x \times \frac{12}{x}=12
$$
로 항상 일정하기 때문이다.
—
예제 2
$$
y=\frac{-8}{x}
$$
도 반비례식이다.
이때 반비례상수는
$$
-8
$$
이다.
—
4. 반비례상수 구하기
반비례식
$$
y=\frac{a}{x}
$$
에서
$$
a
$$
를 반비례상수라고 한다.
—
예제 3
$$
y=\frac{15}{x}
$$
의 반비례상수를 구하시오.
풀이
$$
a=15
$$
이다.
—
예제 4
$$
y=\frac{-6}{x}
$$
의 반비례상수를 구하시오.
풀이
$$
a=-6
$$
이다.
—
5. 반비례 여부 판단하기
—
예제 5
다음 표가 반비례인지 알아보자.
| x | 1 | 2 | 3 | 6 |
|—|—|—|—|—|
| y | 12 | 6 | 4 | 2 |
—
각 값에 대하여
$$
xy
$$
를 구하면
$$
1 \times 12 = 12
$$
$$
2 \times 6 = 12
$$
$$
3 \times 4 = 12
$$
$$
6 \times 2 = 12
$$
항상 일정하다.
따라서 반비례이다.
—
예제 6
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
|—|—|—|—|—|
| y | 8 | 4 | 3 | 2 |
—
곱을 구하면
$$
1 \times 8 = 8
$$
$$
2 \times 4 = 8
$$
$$
3 \times 3 = 9
$$
항상 일정하지 않다.
따라서 반비례가 아니다.
—
6. 반비례식 만들기
—
## 예제 7
반비례상수가
$$
20
$$
인 반비례식을 구하시오.
풀이
$$
y=\frac{20}{x}
$$
이다.
—
예제 8
점
$$
(2,\ 5)
$$
를 지나는 반비례식을 구하시오.
풀이
반비례식은
$$
y=\frac{a}{x}
$$
이다.
점
$$
(2,\ 5)
$$
를 대입하면
$$
5=\frac{a}{2}
$$
$$
a=10
$$
따라서
$$
y=\frac{10}{x}
$$
이다.
—
7. 반비례 그래프
반비례식
$$
y=\frac{a}{x}
$$
의 그래프는 곡선의 모양이다.
—
특징 1
그래프는 원점을 지나지 않는다.
왜냐하면
$$
x=0
$$
일 때 식이 정의되지 않기 때문이다.
—
특징 2
직선이 아니라 곡선이다.
—
특징 3
좌우 대칭 또는 원점 대칭의 형태를 가진다.
—
8. 반비례 그래프의 위치
반비례상수의 부호에 따라 그래프의 위치가 달라진다.
—
반비례상수가 양수인 경우
$$
y=\frac{a}{x}\quad (a>0)
$$
그래프는
제1사분면과 제3사분면에 나타난다.
—
예
$$
y=\frac{6}{x}
$$
—
반비례상수가 음수인 경우
$$
y=\frac{a}{x}
\quad (a<0)
$$
그래프는
제2사분면과 제4사분면에 나타난다.
—
예
$$
y=\frac{-6}{x}
$$
—
9. 반비례 그래프의 성질
—
예제 9
$$
y=\frac{12}{x}
$$
에서
$$
x=1
$$
이면
$$
y=12
$$
—
$$
x=2
$$
이면
$$
y=6
$$
—
$$
x=4
$$
이면
$$
y=3
$$
—
$$
x
$$
가 커질수록
$$
y
$$
는 작아진다.
하지만
$$
xy=12
$$
는 항상 일정하다.
—
10. 실생활 속 반비례
—
예제 10
일정한 거리를 이동한다고 하자.
거리
$$
120km
$$
를 이동할 때 속력을
$$
x
$$
km/h,
시간을
$$
y
$$
시간이라 하자.
그러면
$$
xy=120
$$
이므로
$$
y=\frac{120}{x}
$$
이다.
반비례 관계이다.
—
예제 11
빵
$$
24
$$
개를 여러 명이 똑같이 나누어 가진다고 하자.
사람 수를
$$
x
$$
명,
한 사람이 받는 빵의 개수를
$$
y
$$
개라 하면
$$
xy=24
$$
이다.
따라서
$$
y=\frac{24}{x}
$$
가 된다.
—
11. 활용 문제
문제 1
다음 중 반비례식을 고르시오.
$$
y=\frac{8}{x}
$$
$$
y=8x
$$
풀이
반비례식은
$$
y=\frac{8}{x}
$$
이다.
—
문제 2
반비례식
$$
y=\frac{18}{x}
$$
의 반비례상수를 구하시오.
풀이
$$
18
$$
이다.
—
문제 3
점
$$
(3,\ 4)
$$
를 지나는 반비례식을 구하시오.
풀이
$$
a=3 \times 4=12
$$
따라서
$$
y=\frac{12}{x}
$$
이다.
—
문제 4
반비례식
$$
y=\frac{20}{x}
$$
에서
$$
x=5
$$
일 때
$$
y
$$
의 값을 구하시오.
풀이
$$
y=\frac{20}{5}
$$
$$
=4
$$
이다.
—
문제 5
반비례식
$$
y=\frac{-24}{x}
$$
에서
$$
x=6
$$
일 때
$$
y
$$
의 값을 구하시오.
풀이
$$
y=\frac{-24}{6}
$$
$$
=-4
$$
이다.
—
12. 핵심 정리
### 반비례
두 양의 곱
$$
xy
$$
가 항상 일정한 관계
—
반비례식
$$
y=\frac{a}{x}
$$
단,
$$
a \ne 0
$$
$$
x \ne 0
$$
—
반비례상수
$$
a
$$
—
반비례 여부 확인
$$
xy
$$
의 값이 항상 일정한지 확인한다.
—
그래프의 특징
– 곡선의 모양이다.
– 원점을 지나지 않는다.
– $$a>0$$ 이면 제1, 제3사분면에 나타난다.
– $$a<0$$ 이면 제2, 제4사분면에 나타난다.
—
정비례와 반비례 비교
정비례
$$
y=ax
$$
그래프는 직선
—
반비례
$$
y=\frac{a}{x}
$$
그래프는 곡선
—
반드시 기억할 내용
정비례는
$$
\frac{y}{x}
$$
가 일정한 관계이고,
반비례는
$$
xy
$$
가 일정한 관계이다.
반비례식은
$$
y=\frac{a}{x}
$$
의 형태로 나타내며 그래프는 원점을 지나지 않는 곡선이 된다.