📚 학습 목표

• 허수단위 $i$의 뜻을 이해하고, i=−1i=−1​, i2=−1i2=−1임을 설명할 수 있다.

• 복소수의 정의를 알고, 실수부분과 허수부분을 구별할 수 있다.

• 복소수를 실수, 허수, 순허수로 분류할 수 있다.

• 두 복소수가 서로 같을 조건(복소수의 상등)을 이해하고 활용할 수 있다.

• 켤레복소수의 뜻을 알고, 주어진 복소수의 켤레복소수를 구할 수 있다.

1. 허수의 도입

1.1 왜 허수가 필요할까?

우리는 지금까지 실수만으로도 충분히 수학을 할 수 있다고 생각했습니다. 하지만 다음과 같은 방정식을 만족하는 $x$를 실수 범위에서 찾을 수 있을까요?

x2=−1x2=−1

실수는 제곱하면 항상 0보다 크거나 같습니다. 따라서 어떤 실수를 제곱해도 -1이 될 수 없습니다. 이것은 마치 중학교 2학년까지 x2=2x2=2를 풀 수 없었던 것과 비슷한 상황입니다. 당시에는 22​라는 새로운 수를 도입하여 문제를 해결했습니다 .

이와 마찬가지로, 제곱해서 음수가 되는 수를 표현하기 위해 허수(imaginary number)라는 새로운 수 개념을 도입합니다.

1.2 허수단위 i

허수단위 $i$는 다음과 같이 정의합니다 .

i=−1,i2=−1i=−1​,i2=−1

즉, $i$는 제곱해서 -1이 되는 수입니다. 이제 x2=−1x2=−1의 해는 $x=\pm i$가 됩니다.

📝 예제 1: 허수 표현하기

다음 수를 $i$를 사용하여 나타내시오.

1. −4−4​

2. −7−7​

풀이

1. −4=4×(−1)=4×−1=2i−4​=4×(−1)​=4​×−1​=2i

2. −7=7×(−1)=7×−1=7i−7​=7×(−1)​=7​×−1​=7​i

주의할 점: −a−a​ ($a>0$)를 $i$로 표현할 때, aa​는 양수여야 합니다. 즉, −a=a⋅i−a​=a​⋅i로 나타냅니다 .

💡 허수의 성질

• 허수는 대소 비교가 불가능합니다. 실수는 수직선 위에 나타낼 수 있어 크기를 비교할 수 있지만, 허수는 수직선 위에 나타낼 수 없기 때문에 대소 관계를 논할 수 없습니다 .

• 따라서 “양의 허수”, “음의 허수”라는 개념도 존재하지 않습니다.

2. 복소수의 정의

2.1 복소수

복소수(complex number)란 실수와 허수가 결합된 수로, 다음과 같은 형태로 나타냅니다 .

$$a+bi(\text{단, }a,b\text{는 실수})$$

여기서

• a: 실수부분(real part)

• b: 허수부분(imaginary part)

주의: 허수부분은 $bi$가 아니라 $b$입니다. $b$ 자체가 실수이며, 이 실수에 허수단위 $i$가 곱해져서 허수부분을 구성합니다 .

📝 예제 2: 실수부분과 허수부분 구하기

다음 복소수의 실수부분과 허수부분을 구하시오.

1. $3-4i$

2. $5i$

3. 2−12​−1

풀이

1. $3-4i$: 실수부분 = $3$, 허수부분 = $-4$

2. $5i=0+5i$: 실수부분 = $0$, 허수부분 = $5$

3. 2−1=(2−1)+0i2​−1=(2​−1)+0i: 실수부분 = 2−12​−1, 허수부분 = $0$

2.2 복소수의 분류

복소수 a+bi는 b의 값에 따라 다음과 같이 분류됩니다 .

📝 예제 3: 복소수 분류하기

다음 수들을 실수, 허수, 순허수로 분류하시오.

• $2+3i$

• $-5$

• $4i$

• $1-i$

풀이

• $2+3i$: 허수 (실수부분 2, 허수부분 3)

• $-5$: 실수 (허수부분 0)

• $4i$: 순허수 (실수부분 0, 허수부분 4)

• $1-i$: 허수 (실수부분 1, 허수부분 -1)

3. 복소수의 상등 (Equality of Complex Numbers)

복소수가 서로 같을 조건

두 복소수 $a+bi$와 $c+di$가 서로 같을 조건은 무엇일까요? 단, $a,b,c,d$는 실수입니다 .

$$a+bi=c+di⟺a=c\text{ 그리고 }b=d$$

즉, 실수부분끼리 같고, 허수부분끼리 같아야 두 복소수가 같습니다.

⚠️ 중요한 주의사항

$a,b,c,d$가 실수라는 조건이 없으면 이 성질이 성립하지 않습니다. 예를 들어, $a+bi=2+3i$에서 $a,b$가 실수라는 조건이 없으면 $a=3i$, $b=-2i$ 등 무수히 많은 경우가 가능해집니다 . 따라서 복소수의 상등 문제를 풀 때는 반드시 실수 조건을 확인해야 합니다.

📝 예제 4: 복소수의 상등

실수 $x,y$에 대하여 $x+yi=3-2i$일 때, $x,y$의 값을 구하시오.

풀이
복소수의 상등 조건에 의해 실수부분과 허수부분이 각각 같아야 합니다.

• 실수부분: $x=3$

• 허수부분: $y=-2$

따라서 $x=3,y=-2$

📝 예제 5: 복소수의 상등 (연립)

실수 $x,y$에 대하여 $(2x+y)+(x-y)i=5+4i$일 때, $x,y$의 값을 구하시오.

풀이
복소수의 상등 조건에 의해

• 실수부분: $2x+y=5$

• 허수부분: $x-y=4$

두 식을 연립하면:
$(2x+y)+(x-y)=5+4$ → $3x=9$ → $x=3$
$3-y=4$ → $y=-1$

따라서 $x=3,y=-1$

4. 켤레복소수 (Conjugate Complex Number)

4.1 켤레복소수의 정의

복소수 $a+bi$에 대하여 허수부분의 부호만 바꾼 복소수를 켤레복소수라고 합니다 .

a+bi‾=a−bia+bi​=a−bi

여기서 z‾z는 “z의 켤레복소수”라고 읽습니다.

📝 예제 6: 켤레복소수 구하기

다음 복소수의 켤레복소수를 구하시오.

1. $3+2i$

2. $5-4i$

3. $-3i$

4. $7$

풀이

1. 3+2i‾=3−2i3+2i​=3−2i

2. 5−4i‾=5+4i5−4i​=5+4i

3. −3i‾=3i−3i​=3i (∵ $-3i=0-3i$ → 켤레: $0+3i=3i$)

4. 7‾=77=7 (실수의 켤레복소수는 자기 자신)

4.2 특별한 경우

• 복소수가 실수인 경우 ($b=0$): $z=a$ → z‾=az=a (자기 자신)

• 복소수가 순허수인 경우 ($a=0$): $z=bi$ → z‾=−biz=−bi 

📝 예제 7: 켤레복소수 관계 확인

$z=-5i$일 때, z=−z‾z=−z가 성립함을 확인하시오.

풀이
$z=-5i$의 켤레복소수는 z‾=5iz=5i입니다.
따라서 −z‾=−5i=z−z=−5i=z가 성립합니다. (순허수는 이런 성질을 가집니다) 

문제 풀이

🔍 문제 1: 기본 개념

다음 중 옳은 것을 모두 고르시오. [출처: 개념 이해]
(ㄱ) i=−1i=−1​이다.
(ㄴ) i2=1i2=1이다.
(ㄷ) 모든 복소수는 실수와 허수로 이루어져 있다.
(ㄹ) 허수는 대소 비교가 가능하다.
(ㅁ) $3i$의 허수부분은 $3i$이다.

풀이

• (ㄱ) i=−1i=−1​은 정의에 따라 참 

• (ㄴ) i2=−1i2=−1이므로 거짓

• (ㄷ) 복소수는 $a+bi$ 형태로, 실수부분과 허수부분으로 이루어져 있다. 참

• (ㄹ) 허수는 대소 비교가 불가능하다. 거짓 

• (ㅁ) $3i$의 허수부분은 $3$이다. (허수부분은 $b$지 $bi$가 아니다) 거짓 

따라서 정답: (ㄱ), (ㄷ)

🔍 문제 2: 복소수의 상등

실수 $x,y$에 대하여 $(x+y)+(2x-y)i=4+5i$일 때, $x,y$의 값을 구하시오.

풀이
복소수의 상등 조건에 의해

• 실수부분: $x+y=4$

• 허수부분: $2x-y=5$

두 식을 연립:
$(x+y)+(2x-y)=4+5$ → $3x=9$ → $x=3$
$3+y=4$ → $y=1$

따라서 $x=3,y=1$

🔍 문제 3: 켤레복소수

z=3−2iz=3​−2​i일 때, z‾z와 $z$의 실수부분과 허수부분을 각각 구하시오.

풀이
z=3−2iz=3​−2​i

• 실수부분 = 33​, 허수부분 = −2−2​

켤레복소수: z‾=3+2iz=3​+2​i

• 실수부분 = 33​, 허수부분 = 22​

✨ 핵심 요약

1. 허수단위 $i$: i=−1i=−1​, i2=−1i2=−1

2. 복소수: $a+bi$ (단, $a,b$는 실수)

   • $a$: 실수부분

   • $b$: 허수부분 (⚠️ $bi$가 아님)

3. 복소수의 분류

   • $b=0$: 실수

   • b≠0b=0: 허수

   • a=0,b≠0a=0,b=0: 순허수

4. 복소수의 상등: $a+bi=c+di$ ⇔ $a=c$ 그리고 $b=d$ (단, $a,b,c,d$는 실수)

5. 켤레복소수: a+bi‾=a−bia+bi​=a−bi

   • 실수의 켤레는 자기 자신

   • 순허수의 켤레는 부호가 반대