나머지 정리

📚 학습 목표

• 나머지 정리를 이해하고, 다항식을 일차식으로 나눈 나머지를 빠르게 구할 수 있다.

• 인수정리를 이해하고, 다항식의 인수 여부를 판별할 수 있다.

• 나머지 정리를 활용하여 미지의 계수를 구하거나 나머지에 관한 문제를 해결할 수 있다.

• 일차식으로 나눈 나머지와 이차식으로 나눈 나머지의 관계를 이해한다.

1. 나머지 정리 (Remainder Theorem)

나머지 정리란?

다항식 P(x)를 일차식 x - a로 나누었을 때의 나머지는 P(a)와 같다.

증명

다항식 P(x)를 x - a로 나누면 몫을 Q(x), 나머지를 R(상수)라고 할 때, 나눗셈 정리에 의해

P(x) = (x - a) Q(x) + R

이 식은 모든 x에 대한 항등식입니다. 양변에 x = a를 대입하면

P(a) = (a - a) Q(a) + R = 0 + R
∴ R = P(a)

따라서 나머지는 P(a)가 됩니다.

📝 예제 1: 나머지 구하기

P(x) = 2x³ - 3x² + 4x - 5를 x - 2로 나눈 나머지를 구하시오.

풀이
나머지 정리에 의해 P(2)를 계산하면 됩니다.

P(2) = 2·8 - 3·4 + 4·2 - 5 = 16 - 12 + 8 - 5 = 7

따라서 나머지는 7입니다.

2. 인수정리 (Factor Theorem)

인수정리

P(a) = 0이면 x - a는 P(x)의 인수이다.
즉, P(x)가 x - a로 나누어떨어지면(나머지가 0이면) x - a는 P(x)의 인수가 됩니다.

역도 성립

x - a가 P(x)의 인수이면 P(a) = 0입니다.

📝 예제 2: 인수 여부 판별

P(x) = x³ - 6x² + 11x - 6에 대하여 x - 1이 인수인지 판별하시오.

풀이
P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0이므로 x - 1은 인수입니다.

인수정리를 이용한 인수분해

인수정리를 통해 하나의 인수를 찾으면, 조립제법이나 다항식 나눗셈으로 다른 인수를 구할 수 있습니다.

📝 예제 3: 인수분해

P(x) = x³ - 6x² + 11x - 6을 인수분해하시오.

풀이
P(1)=0이므로 (x - 1)을 인수로 가집니다. 조립제법으로 나눗셈을 합니다.

1 │ 1  -6   11  -6
  │     1   -5   6
  ────────────────
    1  -5    6   0

몫은 x² - 5x + 6이고, 이는 다시 인수분해됩니다.

x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

따라서 P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)입니다.

3. 나머지 정리의 확장: 일차식 ax + b로 나누는 경우

일차식이 x - a 형태가 아닌 ax + b (a ≠ 0)인 경우, 식을 x + b/a로 생각할 수 있습니다.

공식

다항식 P(x)를 ax + b로 나눈 나머지는 P(-b/a)이다.

증명

P(x)를 ax + b로 나누면 몫 Q(x), 나머지 R(상수)에 대해

P(x) = (ax + b) Q(x) + R

x = -b/a를 대입하면

P(-b/a) = (a·(-b/a) + b) Q(-b/a) + R = (-b + b) Q(-b/a) + R = R

따라서 나머지 R = P(-b/a)입니다.

📝 예제 4: ax + b 형태

P(x) = 3x³ - 2x² + 5x - 1을 2x - 1로 나눈 나머지를 구하시오.

풀이
2x - 1 = 0에서 x = 1/2이므로 P(1/2)를 계산합니다.

P(1/2) = 3·(1/8) - 2·(1/4) + 5·(1/2) - 1
       = 3/8 - 2/4 + 5/2 - 1
       = 3/8 - 4/8 + 20/8 - 8/8
       = (3 - 4 + 20 - 8)/8 = 11/8

따라서 나머지는 11/8입니다.

4. 나머지 정리의 활용

4.1 미지의 계수 구하기

나머지에 대한 조건이 주어지면, 미지수를 포함한 다항식에 나머지 정리를 적용하여 계수를 결정할 수 있습니다.

📝 예제 5: 계수 구하기

다항식 P(x) = x³ + ax² - 3x + b를 x - 2로 나누면 나머지가 5이고, x + 1로 나누면 나머지가 2일 때, 상수 a, b를 구하시오.

풀이
나머지 정리에 의해:

• P(2) = 8 + 4a - 6 + b = 2 + 4a + b = 5 → 4a + b = 3 …①

• P(-1) = -1 + a + 3 + b = a + b + 2 = 2 → a + b = 0 …②

①, ②를 연립: ① – ② → 3a = 3 → a = 1, b = -1

4.2 두 일차식으로 나눈 나머지

P(x)를 (x - a)(x - b)와 같은 이차식으로 나눈 나머지는 일차식 이하입니다. 나머지 정리와 연립하여 나머지를 구할 수 있습니다.

📝 예제 6: 이차식으로 나눈 나머지

다항식 P(x)를 x - 1로 나누면 나머지가 3, x - 2로 나누면 나머지가 5이다. P(x)를 (x - 1)(x - 2)로 나눈 나머지를 구하시오.

풀이
P(x)를 이차식 (x-1)(x-2)로 나눈 나머지는 일차식 이하이므로 R(x) = px + q라고 놓습니다.
나눗셈 정리에 의해

P(x) = (x-1)(x-2) Q(x) + px + q

• x = 1 대입: P(1) = p·1 + q = 3 → p + q = 3

• x = 2 대입: P(2) = 2p + q = 5 → 2p + q = 5

연립: 두 식을 빼면 p = 2, q = 1
따라서 나머지는 2x + 1 입니다.

4.3 다항식의 값 계산

나머지 정리를 이용하면 특정 x에서의 다항식 값을 쉽게 구할 수 있습니다.

📝 예제 7: 다항식의 값

P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3) + 4일 때, P(4)를 구하시오.

풀이
직접 대입할 수도 있지만, P(4)는 (4-1)(4-2)(4-3) + 4 = 3·2·1 + 4 = 6 + 4 = 10입니다.
여기서는 나머지 정리보다 단순 대입이 더 쉽네요. 하지만 때로는 복잡한 다항식을 인수분해된 형태로 주고 특정 값을 구할 때 유용합니다.

5. 종합 문제 풀이

🔍 문제 1: 기본 나머지 구하기

P(x) = x⁴ - 3x² + 2x - 1을 x + 2로 나눈 나머지를 구하시오.

풀이
x + 2 = x - (-2)이므로 P(-2)를 계산합니다.

P(-2) = (-2)⁴ - 3·(-2)² + 2·(-2) - 1 = 16 - 12 - 4 - 1 = -1

따라서 나머지는 -1입니다.

🔍 문제 2: 인수정리를 이용한 인수분해

P(x) = 2x³ - 3x² - 3x + 2를 인수분해하시오.

풀이
가능한 인수로 x = 1, -1, 2, -2, 1/2, -1/2 등을 대입해 봅니다.

• P(1) = 2 - 3 - 3 + 2 = -2 (×)

• P(-1) = -2 - 3 + 3 + 2 = 0 → x + 1이 인수

조립제법으로 나눕니다.

-1 │ 2  -3  -3   2
   │    -2   5  -2
   ────────────────
     2  -5   2   0

몫은 2x² - 5x + 2이고, 이는 다시 인수분해됩니다.

2x² - 5x + 2 = (2x - 1)(x - 2)

따라서 P(x) = (x + 1)(2x - 1)(x - 2)입니다.

🔍 문제 3: 나머지 조건으로 계수 구하기

다항식 P(x) = x³ + ax² + bx + 1이 x - 1로 나누어떨어지고, x - 2로 나누면 나머지가 3이다. 상수 a, b를 구하시오.

풀이

• P(1) = 1 + a + b + 1 = a + b + 2 = 0 → a + b = -2 …①

• P(2) = 8 + 4a + 2b + 1 = 4a + 2b + 9 = 3 → 4a + 2b = -6 → 2a + b = -3 …②

② – ①: (2a+b) - (a+b) = -3 - (-2) → a = -1
①에 대입: -1 + b = -2 → b = -1

따라서 a = -1, b = -1

🔍 문제 4: 나머지끼리의 관계

P(x)를 x - 1로 나눈 나머지가 2, x - 2로 나눈 나머지가 3일 때, P(x)를 (x - 1)(x - 2)로 나눈 나머지를 구하시오. (앞에서 다룬 내용)

풀이 (복습)
나머지를 R(x) = px + q라 하면
p + q = 2, 2p + q = 3 → p = 1, q = 1 → x + 1

🔍 문제 5: 세 가지 조건

P(x)를 x - 1로 나누면 나머지가 1, x - 2로 나누면 나머지가 2, x - 3으로 나누면 나머지가 3일 때, P(x)를 (x - 1)(x - 2)(x - 3)으로 나눈 나머지를 구하시오.

풀이
나누는 식이 3차식이므로 나머지는 2차 이하입니다. R(x) = ax² + bx + c라 하면

• P(1) = a + b + c = 1

• P(2) = 4a + 2b + c = 2

• P(3) = 9a + 3b + c = 3

연립:
② – ①: 3a + b = 1 …④
③ – ②: 5a + b = 1 …⑤
⑤ – ④: 2a = 0 → a = 0
④에 대입: 0 + b = 1 → b = 1
①에 대입: 0 + 1 + c = 1 → c = 0

따라서 나머지는 x 입니다.

✨ 핵심 요약

1. 나머지 정리: P(x)를 x - a로 나눈 나머지 = P(a)

2. 인수정리: P(a) = 0 ⇔ x - a는 P(x)의 인수

3. 일차식 ax + b로 나눌 때: 나머지 = P(-b/a)

4. 이차식 이상으로 나눈 나머지: 나머지의 차수는 나누는 식의 차수보다 작다. 주어진 조건을 이용하여 미지의 나머지 다항식을 결정할 수 있다.

5. 나머지 정리는 다항식의 값 계산, 미정계수 결정, 인수분해 등에 폭넓게 활용된다.