항등식

📚 학습 목표

• 항등식의 뜻을 이해하고, 방정식과 구별할 수 있다.

• 항등식의 성질을 이해한다.

• 미정계수법(계수비교법, 수치대입법)을 이용하여 항등식의 미지의 계수를 구할 수 있다.

• 항등식의 활용 문제를 해결할 수 있다.

1. 항등식의 정의

항등식(Identity)이란?

문자에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하는 등식을 그 문자에 관한 항등식이라고 합니다.

예시

• 2(x + 1) = 2x + 2 → x에 어떤 수를 대입해도 항상 참

• (x + 1)² = x² + 2x + 1 → 항상 참

• x² - 4 = (x - 2)(x + 2) → 항상 참

방정식과의 비교

2. 항등식의 성질

성질 1: 계수 비교법

두 다항식 P(x)와 Q(x)가 모든 x에 대하여 항등식이면, 동류항의 계수가 각각 같습니다.

즉,

a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 
= b_n x^n + b_{n-1} x^{n-1} + ... + b_1 x + b_0

이 모든 x에 대해 성립하면

a_n = b_n, a_{n-1} = b_{n-1}, ..., a_0 = b_0

성질 2: 수치대입법

두 다항식의 차수가 n차 이하일 때, 서로 다른 n+1개의 수에 대하여 함숫값이 같으면 두 다항식은 항등식입니다.

예를 들어, 이차식 ax² + bx + c가 세 개의 서로 다른 x 값(예: 0, 1, -1)에서 모두 같은 값을 가지면, 그 식은 동일한 이차식임이 보장됩니다.

3. 미정계수법 (Undetermined Coefficients)

항등식에서 미지의 계수를 구하는 방법을 미정계수법이라고 합니다. 크게 두 가지 방법이 있습니다.

3.1 계수비교법 (Comparing Coefficients)

1. 주어진 등식을 전개하여 정리합니다.

2. 좌변과 우변의 동류항 계수를 비교하여 미지수에 관한 방정식을 세웁니다.

3. 방정식을 풀어 계수를 구합니다.

📝 예제 1: a(x - 1)² + b(x - 1) + c = 2x² - 3x + 1이 x에 대한 항등식일 때, 상수 a, b, c를 구하시오.

풀이
좌변 전개:

a(x² - 2x + 1) + b x - b + c
= a x² - 2a x + a + b x - b + c
= a x² + (-2a + b)x + (a - b + c)

우변: 2x² - 3x + 1

계수 비교:

• x² 계수: a = 2

• x 계수: -2a + b = -3 → -4 + b = -3 → b = 1

• 상수항: a - b + c = 1 → 2 - 1 + c = 1 → c = 0

따라서 a = 2, b = 1, c = 0

3.2 수치대입법 (Substitution Method)

1. 주어진 등식에 적당한 수(보통 0, 1, -1 등 계산이 편한 값)를 대입하여 미지수에 관한 방정식을 얻습니다.

2. 필요한 만큼의 서로 다른 값을 대입하여 연립방정식을 풉니다.

3. (선택) 구한 계수가 올바른지 확인하기 위해 한두 개 더 대입해 볼 수 있습니다.

📝 예제 2: a(x - 1)² + b(x - 1) + c = 2x² - 3x + 1 (동일 문제)를 수치대입법으로 풀어보시오.

풀이

• x = 1 대입: 좌변 = a·0² + b·0 + c = c, 우변 = 2·1² - 3·1 + 1 = 0 → c = 0

• x = 0 대입: 좌변 = a( -1)² + b(-1) + c = a - b + 0, 우변 = 2·0 - 3·0 + 1 = 1 → a - b = 1 …①

• x = 2 대입: 좌변 = a(1)² + b(1) + 0 = a + b, 우변 = 2·4 - 3·2 + 1 = 8 - 6 + 1 = 3 → a + b = 3 …②

①, ②를 연립: (a + b) - (a - b) = 3 - 1 → 2b = 2 → b = 1, a = 2

따라서 a = 2, b = 1, c = 0 (계수비교법과 동일)

💡 방법 선택 팁

• 계수비교법: 전개가 복잡하지 않고, 식이 깔끔할 때 유용.

• 수치대입법: 전개하기 번거로운 형태(예: 인수분해된 형태)에서 빠르게 상수항이나 단순 계수를 구할 수 있음. 단, 미지수가 많으면 대입할 값을 잘 선택해야 함.

4. 항등식의 활용

4.1 분수 형태의 항등식

분모에 미지수가 있는 등식이 주어질 때는 분모의 최소공배수를 곱하여 정리한 후 항등식 조건을 적용합니다. (단, 분모가 0이 되는 x 값은 제외)

📝 예제 3: (2x)/(x² - 1) = A/(x - 1) + B/(x + 1)이 x에 대한 항등식이 되도록 상수 A, B를 구하시오. (단, x ≠ ±1)

풀이
양변에 (x² - 1) = (x - 1)(x + 1)을 곱합니다.

2x = A(x + 1) + B(x - 1)
2x = (A + B)x + (A - B)

계수 비교:

• x 계수: A + B = 2

• 상수항: A - B = 0 → A = B

연립: A + A = 2 → 2A = 2 → A = 1, B = 1

따라서 A = 1, B = 1

4.2 다항식의 나눗셈과의 연계

나머지 정리와 항등식을 결합한 문제가 자주 출제됩니다.

📝 예제 4: 다항식 P(x)를 (x - 1)(x - 2)로 나누었을 때의 나머지를 구하시오. (단, P(1) = 3, P(2) = 5)

풀이
P(x)를 이차식 (x-1)(x-2)로 나눈 몫을 Q(x), 나머지를 ax + b(일차 이하)라 하면 항등식:

P(x) = (x-1)(x-2) Q(x) + ax + b

• x = 1 대입: P(1) = a·1 + b = 3 → a + b = 3

• x = 2 대입: P(2) = 2a + b = 5 → 2a + b = 5

연립: (2a + b) - (a + b) = 5 - 3 → a = 2, b = 1

따라서 나머지는 2x + 1