📚 학습 목표

• 복소수의 덧셈과 뺄셈 원리를 이해하고 계산할 수 있다.

• 복소수의 곱셈을 계산하고, i2=−1i2=−1을 적용할 수 있다.

• 켤레복소수를 이용하여 복소수의 나눗셈을 할 수 있다.

• $i$의 거듭제곱의 규칙을 이해하고 활용할 수 있다.

1. 복소수의 덧셈과 뺄셈

복소수는 실수부분과 허수부분으로 이루어져 있으므로, 덧셈과 뺄셈은 실수부분은 실수부분끼리, 허수부분은 허수부분끼리 계산합니다.

1.1 덧셈

두 복소수 z1=a+biz1​=a+bi, z2=c+diz2​=c+di (단, $a,b,c,d$는 실수)에 대하여

z1+z2=(a+c)+(b+d)iz1​+z2​=(a+c)+(b+d)i

1.2 뺄셈

z1−z2=(a−c)+(b−d)iz1​−z2​=(a−c)+(b−d)i

📝 예제 1: 덧셈과 뺄셈

다음 복소수의 덧셈과 뺄셈을 계산하시오.

1. $(3+2i)+(5-4i)$

2. $(7-3i)-(2+5i)$

풀이

1. $(3+2i)+(5-4i)=(3+5)+(2-4)i=8-2i$

2. $(7-3i)-(2+5i)=(7-2)+(-3-5)i=5-8i$

2. 복소수의 곱셈

복소수의 곱셈은 일반적인 다항식의 곱셈과 동일하게 분배법칙을 사용하고, i2=−1i2=−1을 적용하여 정리합니다.

2.1 기본 곱셈

(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2$$=ac+(ad+bc)i+bd(-1)=(ac-bd)+(ad+bc)i$$

📝 예제 2: 곱셈

다음을 계산하시오.

1. $(2+3i)(4-i)$

2. $(1+i)(1-i)$

풀이

1. $(2+3i)(4-i)=2\cdot 4+2\cdot (-i)+3i\cdot 4+3i\cdot (-i)$
   =8−2i+12i−3i2=8−2i+12i−3i2
   $=8+10i-3(-1)=8+10i+3=11+10i$

2. $(1+i)(1-i)=1\cdot 1+1\cdot (-i)+i\cdot 1+i\cdot (-i)$
   =1−i+i−i2=1−(−1)=2=1−i+i−i2=1−(−1)=2

2.2 곱셈의 특별한 형태

• (a+bi)(a−bi)=a2+b2(a+bi)(a−bi)=a2+b2 (실수)

• (a+bi)2=a2+2abi+(bi)2=(a2−b2)+2abi(a+bi)2=a2+2abi+(bi)2=(a2−b2)+2abi

📝 예제 3: 곱셈의 활용

(3+2i)2(3+2i)2을 계산하시오.

풀이
(3+2i)2=32+2⋅3⋅2i+(2i)2=9+12i+4i2=9+12i−4=5+12i(3+2i)2=32+2⋅3⋅2i+(2i)2=9+12i+4i2=9+12i−4=5+12i

3. 복소수의 나눗셈

복소수의 나눗셈은 분모의 켤레복소수를 분자와 분모에 각각 곱하여 분모를 실수화한 후 계산합니다.

3.1 나눗셈 방법

a+bic+di=(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=(ac+bd)+(bc−ad)ic2+d2c+dia+bi​=(c+di)(c−di)(a+bi)(c−di)​=c2+d2(ac+bd)+(bc−ad)i​

📝 예제 4: 나눗셈

3+2i1−i1−i3+2i​를 계산하시오.

풀이
분모의 켤레복소수 $1+i$를 분자와 분모에 곱한다.

3+2i1−i=(3+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=3+3i+2i+2i21+1=3+5i−22=1+5i2=12+52i1−i3+2i​=(1−i)(1+i)(3+2i)(1+i)​=1+13+3i+2i+2i2​=23+5i−2​=21+5i​=21​+25​i

⚠️ 주의

나눗셈 결과는 항상 a+bi 형태로 정리합니다.

4. $i$의 거듭제곱의 규칙

허수단위 $i$의 거듭제곱은 주기적인 규칙을 가집니다.

4.1 기본 규칙

i1=i,i2=−1,i3=i2⋅i=−i,i4=i2⋅i2=(−1)(−1)=1i1=i,i2=−1,i3=i2⋅i=−i,i4=i2⋅i2=(−1)(−1)=1

i5=i4⋅i=ii5=i4⋅i=i, i6=i4⋅i2=−1i6=i4⋅i2=−1, … 즉, 4를 주기로 반복됩니다.

4.2 일반화

in={1(n이 4의 배수)i(n을 4로 나눈 나머지가 1)−1(n을 4로 나눈 나머지가 2)−i(n을 4로 나눈 나머지가 3)in=⎩⎨⎧​1i−1−i​(n이 4의 배수)(n을 4로 나눈 나머지가 1)(n을 4로 나눈 나머지가 2)(n을 4로 나눈 나머지가 3)​

📝 예제 5: 거듭제곱 계산

i2023i2023의 값을 구하시오.

풀이
2023을 4로 나누면 나머지가 3이므로, i2023=i3=−ii2023=i3=−i.

5. 켤레복소수의 연산 성질

켤레복소수는 다음과 같은 연산 성질을 가집니다. (단, $z,w$는 복소수)

1. z±w‾=z‾±w‾z±w​=z±w

2. z⋅w‾=z‾⋅w‾z⋅w=z⋅w

3. (zw)‾=z‾w‾(wz​)​=wz​ (단, w≠0w=0)

4. z‾‾=zz=z

5. z⋅z‾=∣z∣2z⋅z=∣z∣2 (실수이며, 제곱한 값)

📝 예제 6: 켤레복소수 성질 활용

$z=2-i$일 때, z⋅z‾z⋅z를 구하시오.

풀이
z‾=2+iz=2+i이므로,
z⋅z‾=(2−i)(2+i)=4+1=5z⋅z=(2−i)(2+i)=4+1=5.

6. 종합 문제 풀이

🔍 문제 1: 기본 연산

다음을 계산하시오.

1. $(5-3i)+(2+7i)$

2. $(4+i)-(6-2i)$

3. $(2-i)(3+4i)$

4. 1+2i2−i2−i1+2i​

풀이

1. $(5+2)+(-3+7)i=7+4i$

2. $(4-6)+(1+2)i=-2+3i$

3. (2⋅3+2⋅4i−i⋅3−i⋅4i)=6+8i−3i−4i2=6+5i+4=10+5i(2⋅3+2⋅4i−i⋅3−i⋅4i)=6+8i−3i−4i2=6+5i+4=10+5i

4. (1+2i)(2+i)(2−i)(2+i)=2+i+4i+2i24+1=2+5i−25=5i5=i(2−i)(2+i)(1+2i)(2+i)​=4+12+i+4i+2i2​=52+5i−2​=55i​=i

🔍 문제 2: 거듭제곱

i2024+i2025+i2026i2024+i2025+i2026의 값을 구하시오.

풀이

• 2024는 4의 배수 → i2024=1i2024=1

• 2025는 4로 나눈 나머지 1 → i2025=ii2025=i

• 2026은 4로 나눈 나머지 2 → i2026=−1i2026=−1
  따라서 $1+i+(-1)=i$

🔍 문제 3: 복소수의 상등

실수 $x,y$에 대하여 $(x+2i)(3-i)=11+yi$가 성립할 때, $x,y$를 구하시오.

풀이
좌변을 계산하면
(x)(3)+(x)(−i)+2i⋅3+2i⋅(−i)=3x−xi+6i−2i2(x)(3)+(x)(−i)+2i⋅3+2i⋅(−i)=3x−xi+6i−2i2
$=3x+(-x+6)i+2=(3x+2)+(6-x)i$
우변과 비교: 실수부: $3x+2=11$ → $3x=9$ → $x=3$
허수부: $6-x=y$ → $6-3=y$ → $y=3$

✨ 핵심 요약

• 덧셈/뺄셈: 실수부끼리, 허수부끼리 계산

• 곱셈: 다항식 곱셈 후 i2=−1i2=−1 대입

• 나눗셈: 분모의 켤레복소수를 곱해 실수화

• $i$의 거듭제곱: 4주기로 반복 ($i,-1,-i,1$)

• 켤레복소수: a+bi‾=a−bia+bi​=a−bi, 곱하면 실수 a2+b2a2+b2