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공통수학1 연립이차부등식

학습 목표

연립이차부등식의 뜻을 이해한다.
각각의 이차부등식을 풀고, 그 해의 공통 범위(교집합)를 구할 수 있다.
두 이차부등식의 해를 수직선에 나타내어 공통 부분을 찾을 수 있다.
이차부등식과 일차부등식이 섞인 연립부등식을 풀 수 있다.
해가 존재하지 않는 경우(공집합)를 판별할 수 있다.

1. 연립이차부등식의 정의

연립이차부등식은 두 개 이상의 이차부등식을 동시에 만족하는 미지수 $x$ 의 값의 범위를 구하는 것입니다. 일반적으로 다음과 같은 형태입니다.

${a x^{2} + b x + c > 0 (또는 \geq, <, \leq) d x^{2} + e x + f > 0 (또는 \geq, <, \leq)$

해를 구할 때는 각 부등식을 개별적으로 푼 후, 그 해들의 교집합을 구합니다.

2. 연립이차부등식의 풀이 방법

2.1 기본 풀이 단계

각각의 이차부등식을 푼다.
각 부등식의 해를 수직선 위에 나타낸다.
모든 부등식을 동시에 만족하는 $x$ 의 범위(공통 부분)를 구한다.

📝 예제 1: 두 이차부등식의 연립

${x^{2} - 5 x + 6 > 0 x^{2} - 2 x - 8 \leq 0$ 를 푸시오.

풀이
첫째 부등식: $x^{2} - 5 x + 6 > 0$ → $(x - 2) (x - 3) > 0$ → $x < 2$ 또는 $x > 3$

둘째 부등식: $x^{2} - 2 x - 8 \leq 0$ → $(x - 4) (x + 2) \leq 0$ → $- 2 \leq x \leq 4$

수직선에 나타내면:

첫째: $(- \infty, 2) \cup (3, \infty)$
둘째: $[- 2, 4]$

공통 범위: $(- 2 \leq x < 2)$ 또는 $(3 < x \leq 4)$

따라서 해는 $- 2 \leq x < 2$ 또는 $3 < x \leq 4$

3. 이차부등식과 일차부등식의 연립

이차부등식과 일차부등식이 함께 주어진 경우도 있습니다. 일차부등식은 간단히 풀어 범위를 구한 후, 이차부등식의 해와 교집합을 구합니다.

📝 예제 2: 이차 + 일차 연립

${x^{2} - 3 x - 4 < 02 x - 5 \geq 1$ 를 푸시오.

풀이
첫째 부등식: $x^{2} - 3 x - 4 < 0$ → $(x - 4) (x + 1) < 0$ → $- 1 < x < 4$

둘째 부등식: $2 x - 5 \geq 1$ → $2 x \geq 6$ → $x \geq 3$

공통 범위: $- 1 < x < 4$ 와 $x \geq 3$ 의 교집합 → $3 \leq x < 4$

4. 해가 없는 경우 (공집합)

두 부등식의 해에 공통 부분이 없으면 해는 없습니다. 이를 “해가 없다” 또는 “공집합 $\emptyset$ “이라고 표현합니다.

📝 예제 3: 해가 없는 경우

${x^{2} - 4 > 0 x^{2} - 1 < 0$ 를 푸시오.

풀이
첫째: $x^{2} - 4 > 0$ → $x < - 2$ 또는 $x > 2$

둘째: $x^{2} - 1 < 0$ → $- 1 < x < 1$

공통 범위: 두 범위는 겹치는 부분이 없습니다. → 해 없음 ( $\emptyset$ )

5. 특수한 형태의 연립이차부등식

5.1 판별식이 음수인 경우

이차부등식 중 하나가 “모든 실수” 또는 “해 없음”이 되는 경우를 주의합니다.

📝 예제 4: 하나가 모든 실수인 경우

${x^{2} + x + 1 > 0 x^{2} - 2 x - 3 < 0$ 를 푸시오.

풀이
첫째: $x^{2} + x + 1 > 0$ → $D = 1 - 4 = - 3 < 0$ , $a = 1 > 0$ → 항상 성립 → 해는 모든 실수

둘째: $x^{2} - 2 x - 3 < 0$ → $(x - 3) (x + 1) < 0$ → $- 1 < x < 3$

따라서 전체 해는 $- 1 < x < 3$

📝 예제 5: 하나가 해 없는 경우

${x^{2} + x + 1 < 0 x^{2} - 2 x - 3 > 0$ 를 푸시오.

풀이
첫째: $x^{2} + x + 1 < 0$ → $D < 0$ , $a > 0$ → 항상 양수 → 해 없음

따라서 첫째 부등식을 만족하는 $x$ 가 없으므로 전체 해도 없음. ( $\emptyset$ )

6. 이차항의 계수가 음수인 경우

이차항의 계수가 음수인 부등식은 양변에 $- 1$ 을 곱하여 부등호 방향을 바꾸는 것이 편리합니다.

📝 예제 6: 계수가 음수인 경우

${- x^{2} + 4 x - 3 \geq 0 x^{2} - 4 x + 3 > 0$ 를 푸시오.

풀이
첫째: $- x^{2} + 4 x - 3 \geq 0$ → 양변에 $- 1$ 을 곱하면 $x^{2} - 4 x + 3 \leq 0$ (부등호 방향 반전)
$x^{2} - 4 x + 3 \leq 0$ → $(x - 1) (x - 3) \leq 0$ → $1 \leq x \leq 3$

둘째: $x^{2} - 4 x + 3 > 0$ → $(x - 1) (x - 3) > 0$ → $x < 1$ 또는 $x > 3$

공통 범위: $1 \leq x \leq 3$ 과 $x < 1$ 또는 $x > 3$ 의 교집합 → $x = 1$ ? 첫째는 등호 포함, 둘째는 등호 미포함 → $x = 1$ 은 둘째에서 제외. $x = 3$ 도 둘째에서 제외. 따라서 공통 부분 없음 → 해 없음

7. 종합 문제 풀이

🔍 문제 1: 기본 연립

${x^{2} - 4 x - 5 \geq 0 x^{2} - 9 \leq 0$ 를 푸시오.

풀이
첫째: $x^{2} - 4 x - 5 \geq 0$ → $(x - 5) (x + 1) \geq 0$ → $x \leq - 1$ 또는 $x \geq 5$

둘째: $x^{2} - 9 \leq 0$ → $(x - 3) (x + 3) \leq 0$ → $- 3 \leq x \leq 3$

공통 범위: $- 3 \leq x \leq - 1$ 또는 $x = 5$ ? $x \geq 5$ 와 $- 3 \leq x \leq 3$ 의 교집합은 없음. 따라서 $- 3 \leq x \leq - 1$ 만 남음. $x = 5$ 는 둘째 범위에 없음.

해: $- 3 \leq x \leq - 1$

🔍 문제 2: 이차 + 일차

${x^{2} - 2 x - 3 \geq 02 x - 1 \leq 5$ 를 푸시오.

풀이
첫째: $x^{2} - 2 x - 3 \geq 0$ → $(x - 3) (x + 1) \geq 0$ → $x \leq - 1$ 또는 $x \geq 3$

둘째: $2 x - 1 \leq 5$ → $2 x \leq 6$ → $x \leq 3$

공통 범위: $x \leq - 1$ 또는 $x = 3$ (둘째에서 $x \leq 3$ 이므로 $x = 3$ 포함)

해: $x \leq - 1$ 또는 $x = 3$

🔍 문제 3: 해가 없는 경우

${x^{2} - 4 x + 3 > 0 x^{2} - 6 x + 9 < 0$ 를 푸시오.

풀이
첫째: $x^{2} - 4 x + 3 > 0$ → $(x - 1) (x - 3) > 0$ → $x < 1$ 또는 $x > 3$

둘째: $x^{2} - 6 x + 9 < 0$ → $(x - 3)^{2} < 0$ → 제곱이 음수가 될 수 없으므로 해 없음

따라서 전체 해 없음 ( $\emptyset$ )

✨ 핵심 요약

유형	풀이 방법
두 이차부등식	각각의 해를 구한 후 수직선에서 교집합 찾기
이차 + 일차	일차부등식을 먼저 풀고, 이차부등식의 해와 교집합
판별식 음수	$a > 0$ , $D < 0$ → 부등호에 따라 “모든 실수” 또는 “해 없음”
계수 음수	양변에 $- 1$ 을 곱하여 부등호 방향 반전 후 풀이
공통 범위 없음	해는 없음 ( $\emptyset$ )

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