다항식의 덧셈과 뺄셈

📚 학습 목표

• 다항식의 기본 용어(항, 계수, 차수, 동류항)를 정확히 이해하고 구분할 수 있다.

• 다항식을 내림차순 또는 오름차순으로 정리할 수 있다.

• 다항식의 덧셈과 뺄셈을 동류항을 묶어 계산할 수 있다.

1. 다항식의 기본 용어 이해하기

수학에서 다항식은 하나 이상의 항의 합으로 이루어진 식입니다. 기본 용어를 정확히 알아야 이후 연산을 올바르게 할 수 있습니다.

주요 용어 정의

💡 개념 체크

1. 동류항 판별하기: 문자와 차수가 모두 같아야 동류항입니다.

   • 5x²와 2x❌ (차수 다름)

   • 5x²와 y²❌ (문자 다름)

   • 2x²와 7x²⭕ (문자와 차수 모두 같음)

2. 다항식의 차수: 다항식에서 차수가 가장 높은 항의 차수(최고차항)를 말합니다.

   • 3x² - 4x + 5 → x에 관한 2차식

2. 다항식의 정리 (내림차순/오름차순)

복잡한 다항식을 계산하기 쉽게 정리하는 방법입니다.

정리 방법

• 내림차순 정리: 한 문자에 대하여 차수가 높은 항부터 낮은 항 순으로 나타내기

• 오름차순 정리: 한 문자에 대하여 차수가 낮은 항부터 높은 항 순으로 나타내기

✏️ 예제 연습

4x⁴ - 2 + 3x² - 7x를 x에 관하여:

1. 내림차순 정리: 4x⁴ + 3x² - 7x - 2 (차수가 4 → 2 → 1 → 0)

2. 오름차순 정리: -2 - 7x + 3x² + 4x⁴ (차수가 0 → 1 → 2 → 4)

중요: 기준 문자를 제외한 나머지는 상수처럼 생각합니다.

3. 다항식의 덧셈

계산 원리

1. 동류항끼리 계산: 문자 부분이 완전히 같은 항끼리 계수만 더하거나 뺍니다.

2. 계수의 부호 주의: 각 항의 부호를 정확히 따라가야 합니다.

계산 단계

1. 괄호가 있으면 먼저 푼다.

2. 동류항끼리 묶어서 계수를 계산한다.

3. 결과를 정리한다.

📝 예제: (3x² + 2x - 5) + (2x² - 4x + 3) 계산하기

1. 괄호 풀기: 3x² + 2x - 5 + 2x² - 4x + 3

2. 동류항 묶기: (3x² + 2x²) + (2x - 4x) + (-5 + 3)

3. 계산하기: 5x² - 2x - 2

덧셈의 성질

• 교환법칙: A + B = B + A (순서 바꿔도 결과 같음)

• 결합법칙: (A + B) + C = A + (B + C) (괄호 위치 바꿔도 결과 같음)

4. 다항식의 뺄셈

계산 원리

1. 뺄셈은 덧셈으로: A - B = A + (-B)

2. 부호 변환: 뺄셈 기호 뒤의 괄호를 풀 때 괄호 안 모든 항의 부호를 바꾼다.

계산 단계

1. 뺄셈을 덧셈으로 바꾸기: A - B → A + (-B)

2. 괄호 풀기: -B의 괄호를 풀면서 모든 항의 부호를 바꾸기

3. 동류항끼리 계산하기

4. 결과 정리하기

📝 예제: (5x² - 3x + 2) - (2x² + x - 4) 계산하기

1. 뺄셈을 덧셈으로: (5x² - 3x + 2) + [-(2x² + x - 4)]

2. 부호 변환: (5x² - 3x + 2) + (-2x² - x + 4)

3. 괄호 풀기: 5x² - 3x + 2 - 2x² - x + 4

4. 동류항 묶기: (5x² - 2x²) + (-3x - x) + (2 + 4)

5. 계산하기: 3x² - 4x + 6

주의: 뺄셈에서는 교환법칙과 결합법칙이 성립하지 않습니다. 순서와 괄호 위치를 바꾸면 결과가 달라질 수 있습니다.

5. 종합 문제 풀이

🔍 문제 1: 기본 계산

A = 3x² - 2xy + y², B = 2x² + 3xy - 2y²일 때, A + B와 A - B를 구하시오.

풀이

• A + B = (3x² - 2xy + y²) + (2x² + 3xy - 2y²) = 5x² + xy - y²

• A - B = (3x² - 2xy + y²) - (2x² + 3xy - 2y²) = x² - 5xy + 3y²

🔍 문제 2: 복잡한 식 계산

A = 2x² - 3x + 1, B = x² + 2x - 4일 때, 3A - 2B를 구하시오.

풀이

1. 식 정리: 3(2x² - 3x + 1) - 2(x² + 2x - 4)

2. 분배: 6x² - 9x + 3 - 2x² - 4x + 8

3. 동류항 계산: (6x² - 2x²) + (-9x - 4x) + (3 + 8)

4. 결과: 4x² - 13x + 11

🔍 문제 3: 미지의 다항식 구하기

X - (2x² - 3x + 1) = 3x² + 2x - 5를 만족하는 다항식 X를 구하시오.

풀이

1. 식 변형: X = 3x² + 2x - 5 + (2x² - 3x + 1)

2. 계산: X = 5x² - x - 4

✨ 핵심 요약

1. 다항식 계산의 핵심은 동류항 – 문자와 차수가 모두 같은 항끼리만 계산합니다.

2. 뺄셈은 부호 변환이 관건 – 뺄셈 기호 뒤의 괄호를 풀 때는 모든 항의 부호를 바꿔야 합니다.

3. 계산 실수 방지법:

   • 한 단계씩 차근차근 계산

   • 동류항끼리 색깔이나 기호로 표시

   • 괄호 풀 때 부호를 다시 확인