📚 학습 목표

• 공통부분이 있는 식에서 치환을 이용한 인수분해 방법을 익힌다.

• 복이차식의 인수분해 방법을 이해하고 적용할 수 있다.

• 여러 개의 문자를 포함한 식을 차수 기준으로 정리하여 인수분해할 수 있다.

• 인수정리와 조립제법을 활용하여 고차식을 인수분해할 수 있다.

• 수의 계산에서 인수분해를 활용하는 방법을 익힌다.

1. 공통부분이 있는 식의 인수분해

식의 일부분이 반복되는 형태는 치환을 이용하면 간단히 인수분해할 수 있습니다.

1.1 치환을 이용한 인수분해

치환이란 복잡한 부분을 간단한 문자로 바꾸어 계산하는 방법입니다. 치환 후 인수분해하고, 다시 원래 식으로 돌려놓습니다.

📝 예제 1: 기본 치환

(a² + 3a - 2)(a² + 3a + 4) - 27을 인수분해하시오.

풀이

1. 공통부분 a² + 3a = X로 치환

2. (X - 2)(X + 4) - 27 = X² + 2X - 35

3. 인수분해: (X + 7)(X - 5)

4. 다시 대입: (a² + 3a + 7)(a² + 3a - 5)

주의: 마지막에 각 이차식이 더 인수분해되는지 확인해야 합니다. 여기서는 더 이상 인수분해되지 않습니다.

📝 예제 2: 다양한 치환

1. (2a - b)² - 2(2a - b) - 8

   • 2a - b = t로 치환

   • t² - 2t - 8 = (t - 4)(t + 2)

   • 다시 대입: (2a - b - 4)(2a - b + 2)

2. (x + 1)² - (y - 1)²

   • x + 1 = A, y - 1 = B로 치환

   • A² - B² = (A + B)(A - B)

   • 다시 대입: (x + y)(x - y + 2)

1.2 괄호가 4개인 식의 인수분해

(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) 형태는 두 개씩 짝지어 곱하면 공통부분이 생깁니다.

📝 예제 3: 네 괄호의 곱

(x - 1)(x - 3)(x + 2)(x + 4) + 24를 인수분해하시오.

풀이

1. 공통부분이 생기도록 두 개씩 짝짓기

   • (x - 1)(x + 2) = x² + x - 2

   • (x - 3)(x + 4) = x² + x - 12

2. X = x² + x로 치환

   • (X - 2)(X - 12) + 24 = X² - 14X + 48

   • 인수분해: (X - 6)(X - 8)

3. 다시 대입: (x² + x - 6)(x² + x - 8)

4. 각각 인수분해: (x + 3)(x - 2)(x² + x - 8)

2. 복이차식의 인수분해

복이차식은 x⁴ + ax² + b 꼴로, 모든 항의 차수가 짝수인 식입니다.

2.1 바로 인수분해 가능한 경우

x² = X로 치환하여 이차식으로 만듭니다.

📝 예제 4: 기본 복이차식

x⁴ - 7x² + 12를 인수분해하시오.

풀이

1. x² = X로 치환: X² - 7X + 12

2. 인수분해: (X - 3)(X - 4)

3. 다시 대입: (x² - 3)(x² - 4)

4. 끝까지 인수분해: (x² - 3)(x - 2)(x + 2)

2.2 완전제곱식을 이용한 인수분해

x⁴ + ax² + b가 바로 인수분해되지 않는 경우, 완전제곱식을 만들어 A² - B² 꼴로 변형합니다.

📝 예제 5: 완전제곱식 활용

x⁴ - 8x² + 4를 인수분해하시오.

풀이 (두 가지 방법)

후보 1:

x⁴ - 8x² + 4 = x⁴ + 4x² + 4 - 12x²
= (x² + 2)² - (√12 x)²

후보 2: (더 깔끔한 방법)

x⁴ - 8x² + 4 = x⁴ - 4x² + 4 - 4x²
= (x² - 2)² - (2x)²
= (x² - 2 - 2x)(x² - 2 + 2x)

따라서 x⁴ - 8x² + 4 = (x² - 2x - 2)(x² + 2x - 2)

📝 예제 6: 다른 예

x⁴ - 14x² + 1을 인수분해하시오.

풀이

x⁴ - 14x² + 1 = x⁴ + 2x² + 1 - 16x²
= (x² + 1)² - (4x)²
= (x² + 1 - 4x)(x² + 1 + 4x)
= (x² - 4x + 1)(x² + 4x + 1)

3. 여러 개의 문자를 포함한 식의 인수분해

여러 문자로 이루어진 다항식은 차수가 가장 낮은 문자에 대해 내림차순으로 정리하면 인수분해가 쉬워집니다.

인수분해 단계

1. 각 문자의 차수를 확인하여 가장 차수가 낮은 문자를 찾는다.

2. 그 문자에 대해 내림차순으로 정리한다.

3. 공통인수로 묶거나 인수분해 공식을 적용한다.

📝 예제 7: 세 문자 식

x³ + x²z - y³ - yz² - y²z - z²을 인수분해하시오.

풀이

1. 차수 확인: x(3차), y(3차), z(2차) → z의 차수가 가장 낮음

2. z에 대해 내림차순 정리:

   text

   = (x - y)z² + (x² - y²)z + (x³ - y³)

3. 각 항을 인수분해:

   text

   = (x - y)z² + (x - y)(x + y)z + (x - y)(x² + xy + y²)

4. 공통인수 (x - y)로 묶기:

   text

   = (x - y)[z² + (x + y)z + (x² + xy + y²)]

5. 정리: (x - y)(x² + y² + z² + xy + yz + zx?) (더 이상 인수분해 불가)

∴ (x - y)(x² + y² + z² + xy + xz + yz) 형태로 정리됩니다.

📝 예제 8: 두 문자 식

ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a)를 인수분해하시오.

풀이

1. 전개: a²b - ab² + b²c - bc² + c²a - ca²

2. 차수가 모두 2차로 같으므로, 한 문자(예: a)로 정리:

   text

   = (b - c)a² - (b² - c²)a + (b²c - bc²)
   = (b - c)a² - (b - c)(b + c)a + bc(b - c)

3. 공통인수 (b - c)로 묶기:

   text

   = (b - c)[a² - (b + c)a + bc]
   = (b - c)(a - b)(a - c)

4. 인수정리와 조립제법을 이용한 인수분해

고차다항식(3차 이상)은 인수정리와 조립제법을 활용하여 인수분해합니다.

인수정리

P(a) = 0이면 x - a는 P(x)의 인수입니다.

인수분해 단계

1. 상수항의 약수(±)를 대입하여 P(a) = 0인 a를 찾는다.

2. 조립제법으로 나눗셈을 하여 몫을 구한다.

3. 몫이 더 인수분해되면 반복한다.

📝 예제 9: 인수정리 활용

x³ - 6x² + 11x - 6을 인수분해하시오.

풀이

1. 상수항 -6의 약수: ±1, ±2, ±3, ±6

2. P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0 → x - 1이 인수

3. 조립제법:

1 │ 1  -6   11  -6
  │     1   -5   6
  ────────────────
    1  -5    6   0

4. 몫: x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

5. 따라서 (x - 1)(x - 2)(x - 3)

📝 예제 10: 계수가 1이 아닌 경우

2x³ - 3x² - 3x + 2를 인수분해하시오.

풀이

1. 가능한 유리수 근: ±1, ±2, ±1/2

2. P(-1) = -2 - 3 + 3 + 2 = 0 → x + 1이 인수

3. 조립제법:

-1 │ 2  -3  -3   2
   │    -2   5  -2
   ────────────────
     2  -5   2   0

4. 몫: 2x² - 5x + 2 = (2x - 1)(x - 2)

5. 따라서 (x + 1)(2x - 1)(x - 2)

5. 인수분해를 활용한 수의 계산

수의 계산에서도 인수분해를 활용하면 복잡한 계산을 간단히 할 수 있습니다. 반복되는 수를 문자로 치환하는 방법이 효과적입니다.

📝 예제 11: 수의 계산

14 × 15 × 16 × 17 + 1의 값을 구하시오.

풀이
이 문제는 (x)(x+1)(x+2)(x+3) + 1 형태로 생각할 수 있습니다.

1. x = 14로 두면: 14 × 15 × 16 × 17 + 1

2. 공식을 이용: (x)(x+3) = x² + 3x, (x+1)(x+2) = x² + 3x + 2

3. t = x² + 3x로 치환: t(t+2) + 1 = t² + 2t + 1 = (t+1)²

4. 다시 대입: (x² + 3x + 1)²

5. x = 14 대입: (196 + 42 + 1)² = (239)² = 57121

📝 예제 12: 개념원리 연습문제

14 × 15 × 16 × 17의 값을 곱으로 표현된 네 수의 합을 구하는 문제를 살펴봅시다.

(14² + 2×14)² - 18(14² + 2×14) + 45를 인수분해하면 (11)(19)(17)(13)이 됩니다. 이 네 수의 합은 11+19+17+13=60입니다.

6. 종합 문제 풀이

🔍 문제 1: 공통부분 치환

(x² + 2x)² - 2(x² + 2x) - 3을 인수분해하시오.

풀이

1. t = x² + 2x로 치환: t² - 2t - 3 = (t - 3)(t + 1)

2. 다시 대입: (x² + 2x - 3)(x² + 2x + 1)

3. 각각 인수분해: (x + 3)(x - 1)(x + 1)²

🔍 문제 2: 복이차식

x⁴ - 13x² + 36을 인수분해하시오.

풀이

1. x² = X로 치환: X² - 13X + 36 = (X - 4)(X - 9)

2. 다시 대입: (x² - 4)(x² - 9)

3. 끝까지 인수분해: (x - 2)(x + 2)(x - 3)(x + 3)

🔍 문제 3: 여러 문자

x² - 3xy + 2y² + x - 3y - 2를 인수분해하시오.

풀이

1. 차수가 가장 낮은 문자: x와 y 모두 2차로 동일, x로 정리

   text

   = x² + (-3y + 1)x + (2y² - 3y - 2)

2. 상수항 인수분해: 2y² - 3y - 2 = (2y + 1)(y - 2)

3. 따라서 x² + (-3y + 1)x + (2y+1)(y-2)

4. 이는 (x - (2y+1))(x + (y-2))로 인수분해 가능

   • 전개 확인: (x - 2y - 1)(x + y - 2)

🔍 문제 4: 인수정리 활용

x³ - 2x² - 5x + 6을 인수분해하시오.

풀이

1. P(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0 → x - 1 인수

2. 조립제법:

1 │ 1  -2  -5   6
  │     1  -1  -6
  ────────────────
    1  -1  -6   0

3. 몫: x² - x - 6 = (x - 3)(x + 2)

4. 따라서 (x - 1)(x - 3)(x + 2)

✨ 핵심 요약