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공통수학1 순열

학습 목표

순열의 개념을 이해하고, 순서의 중요성을 설명할 수 있다.
팩토리얼의 뜻을 알고, $n!$ 을 계산할 수 있다.
순열의 수 $_{n} P_{r}$ 를 계산할 수 있다.
서로 다른 $n$ 개에서 $r$ 개를 택하여 일렬로 나열하는 경우의 수를 구할 수 있다.
순열을 활용한 다양한 문제를 해결할 수 있다.

1. 순열의 개념

1.1 순열이란?

순열이란 서로 다른 $n$ 개 중에서 $r$ 개를 순서를 고려하여 선택하여 나열하는 것을 말합니다. 즉, 같은 원소를 선택하더라도 나열하는 순서가 다르면 다른 경우로 간주합니다.

예를 들어, 숫자 1, 2, 3 중에서 2개를 선택하여 나열하는 경우를 생각해 봅시다.

(1, 2)와 (2, 1)은 순서가 다르므로 서로 다른 순열입니다.
가능한 모든 순열: (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2) → 총 6가지

1.2 순열의 기호

서로 다른 $n$ 개에서 $r$ 개를 택하는 순열의 수를 기호로 $_{n} P_{r}$ 또는 $P (n, r)$ 로 나타냅니다.

$_{n} P_{r} = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - r + 1)$

(단, $1 \leq r \leq n$ )

2. 팩토리얼 (Factorial)

2.1 팩토리얼의 정의

자연수 $n$ 에 대하여 $1$ 부터 $n$ 까지의 모든 자연수의 곱을 $n$ 의 팩토리얼이라고 하며, 기호 $n!$ 로 나타냅니다.

$n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times 2 \times 1$

2.2 특별한 정의

$0! = 1 로 정의합니다 .$

2.3 팩토리얼의 예

$1! = 1$
$2! = 2 \times 1 = 2$
$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

3. 순열의 계산

3.1 기본 공식

$n$ 개 중에서 $r$ 개를 택하는 순열의 수는 다음과 같이 계산합니다.

$_{n} P_{r} = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - r + 1)$

팩토리얼을 이용하면 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

$_{n} P_{r} = ( n - r )! n !$

📝 예제 1: 기본 순열 계산

$_{5} P_{3}$ 의 값을 구하시오.

풀이

$_{5} P_{3} = 5 \times 4 \times 3 = 60$

또는

$_{5} P_{3} = ( 5 - 3 )! 5 ! = 2 ! 120 = 2120 = 60$

📝 예제 2: $r = n$ 인 경우

$_{4} P_{4}$ 의 값을 구하시오.

풀이

$_{4} P_{4} = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 = 4!$

일반적으로 $_{n} P_{n} = n!$ 입니다.

📝 예제 3: $r = 1$ 인 경우

$_{6} P_{1}$ 의 값을 구하시오.

풀이

$_{6} P_{1} = 6$

일반적으로 $_{n} P_{1} = n$ 입니다.

4. 순열의 활용 문제

📝 예제 4: 숫자 나열

서로 다른 4개의 숫자 1, 2, 3, 4 중에서 3개를 선택하여 세 자리 자연수를 만들려고 한다. 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수를 구하시오.

풀이
백의 자리, 십의 자리, 일의 자리를 순서대로 선택하는 문제입니다. 서로 다른 4개에서 3개를 택하여 순서대로 나열하는 순열의 수와 같습니다.

$_{4} P_{3} = 4 \times 3 \times 2 = 24 개$

📝 예제 5: 학생 줄 세우기

서로 다른 5명의 학생을 일렬로 세우는 방법의 수를 구하시오.

풀이
5명을 모두 일렬로 세우는 것은 $_{5} P_{5} = 5!$ 와 같습니다.

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 가지$

📝 예제 6: 자리 배정

서로 다른 6명의 학생을 4개의 의자에 한 명씩 앉히는 방법의 수를 구하시오.

풀이
6명 중에서 4명을 선택하여 순서대로 앉히는 문제입니다.

$_{6} P_{4} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360 가지$

5. 같은 것이 있는 경우의 순열

서로 다른 $n$ 개가 아니라, 같은 것이 포함된 경우에는 순열의 수가 달라집니다. (이 부분은 심화 내용으로, 공통수학1 과정에서 다루기도 합니다.)

5.1 공식

$n$ 개 중에서 같은 것이 각각 $p$ 개, $q$ 개, $r$ 개, … 있을 때, 이 $n$ 개를 모두 나열하는 순열의 수는

$p ! \cdot q ! \cdot r ! \dots n !$

📝 예제 7: 같은 문자의 순열

단어 “MATH”의 네 글자를 일렬로 나열하는 방법의 수를 구하시오.

풀이
모든 문자가 서로 다르므로 $4! = 24$ 가지입니다.

📝 예제 8: 같은 문자가 있는 경우

단어 “BOOK”의 네 글자를 일렬로 나열하는 방법의 수를 구하시오.

풀이
B, O, O, K에서 O가 2개 같습니다.

$2 ! 4 ! = 224 = 12 가지$

6. 종합 문제 풀이

🔍 문제 1: 순열 계산

$_{7} P_{4}$ 의 값을 구하시오.

풀이

$_{7} P_{4} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$

🔍 문제 2: 숫자 나열

0, 1, 2, 3, 4의 숫자 중에서 서로 다른 3개를 선택하여 세 자리 자연수를 만들 때, 만들 수 있는 자연수의 개수를 구하시오. (단, 0은 백의 자리에 올 수 없음)

풀이
백의 자리에 올 수 있는 숫자: 1, 2, 3, 4 → 4가지
나머지 두 자리: 남은 4개의 숫자 중에서 순서대로 2개 선택 → $_{4} P_{2} = 4 \times 3 = 12$ 가지
따라서 $4 \times 12 = 48$ 개

🔍 문제 3: 학생 배열

서로 다른 5명의 학생 중에서 3명을 뽑아 일렬로 세우는 방법의 수를 구하시오.

풀이
$_{5} P_{3} = 5 \times 4 \times 3 = 60$ 가지

🔍 문제 4: 같은 문자 포함

단어 “MISSISSIPPI”의 모든 문자를 일렬로 나열하는 방법의 수를 구하시오. (단, M:1개, I:4개, S:4개, P:2개)

풀이
전체 문자 수: $1 + 4 + 4 + 2 = 11$ 개

$1 ! \cdot 4 ! \cdot 4 ! \cdot 2 ! 11 !$

$11! = 39916800$ , $4! = 24$ , $2! = 2$

$1 \times 24 \times 24 \times 239916800 = 115239916800 = 34650 가지$

✨ 핵심 요약

개념	설명	공식
순열	서로 다른 $n$ 개 중 $r$ 개를 순서대로 나열	$_{n} P_{r} = n \times (n - 1) \times \dots \times (n - r + 1)$
팩토리얼	$1$ 부터 $n$ 까지의 곱	$n! = n \times (n - 1) \times \dots \times 1$
순열과 팩토리얼		$_{n} P_{r} = ( n - r )! n !$
같은 것이 있는 순열	같은 것이 $p, q, \dots$ 개 있을 때	$p ! \cdot q ! \dots n !$

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