학습 목표

• 일차부등식의 뜻을 이해하고, 해를 수직선 위에 나타낼 수 있다.

• 부등식의 성질을 이해하고, 이를 이용하여 일차부등식을 풀 수 있다.

• 일차부등식의 해를 구하고, 그 해를 수직선에 표현할 수 있다.

• 연립일차부등식을 풀고, 공통 범위를 구할 수 있다.

• 일차부등식을 활용하여 실생활 문제를 해결할 수 있다.

1. 일차부등식의 정의

부등식은 두 수 또는 식의 크기를 비교하는 식으로, $>,<,\ge ,\le$와 같은 부등호를 사용합니다.
일차부등식은 미지수 $x$에 대한 최고차항의 차수가 1인 부등식을 말합니다.

일차부등식의 일반적인 형태는 다음과 같습니다.

ax+b>0,ax+b<0,ax+b≥0,ax+b≤0(단, a≠0)ax+b>0,ax+b<0,ax+b≥0,ax+b≤0(단, a=0)

📝 예제 1: 일차부등식 판별

다음 중 일차부등식을 모두 고르시오.

• $2x+3>0$ (일차부등식)

• x2−1<0x2−1<0 (이차부등식)

• $3x-5\le 2x+1$ (일차부등식)

• $4>0$ (일차부등식? 상수부등식으로 일차가 아님)

2. 부등식의 성질

부등식을 풀 때는 다음과 같은 성질을 이용합니다. (단, $a,b,c$는 실수)

⚠️ 주의: 부등식의 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때는 부등호의 방향이 바뀝니다.

📝 예제 2: 부등식의 성질 확인

(1) $x-3>5$ → 양변에 3을 더하면 $x>8$
(2) $2x\le 6$ → 양변을 2로 나누면 $x\le 3$
(3) $-3x<9$ → 양변을 $-3$으로 나누면 $x>-3$ (부등호 방향 반전)

3. 일차부등식의 풀이

일차부등식은 방정식과 유사하게 풀되, 음수를 곱하거나 나눌 때 부등호 방향이 바뀜을 유의합니다.

📝 예제 3: 기본 풀이

$3x-4<2x+5$를 푸시오.

풀이

$$3x-4<2x+5$$$$3x-2x<5+4$$$$x<9$$

해는 $x<9$입니다.

📝 예제 4: 음수 곱셈 포함

$-2x+1\ge 7$을 푸시오.

풀이

$$-2x+1\ge 7$$$$-2x\ge 6$$

양변을 $-2$로 나누면 부등호 방향이 반전됩니다.

$$x\le -3$$

4. 해의 수직선 표현

부등식의 해는 수직선 위에 나타낼 수 있습니다.

• $x>a$ : $a$보다 오른쪽, $a$는 빈 원(포함 안 함)

• $x\ge a$ : $a$보다 오른쪽, $a$는 채운 원(포함)

• $x<a$ : $a$보다 왼쪽, $a$는 빈 원

• $x\le a$ : $a$보다 왼쪽, $a$는 채운 원

📝 예제 5: 수직선 표현

부등식 $x\le 2$와 $x>-1$을 각각 수직선에 나타내시오.

(설명: $x\le 2$는 2를 포함한 왼쪽, $x>-1$은 -1을 제외한 오른쪽)

5. 연립일차부등식

두 개 이상의 일차부등식을 동시에 만족하는 $x$의 범위를 구하는 것을 연립일차부등식이라고 합니다. 각 부등식의 해를 구한 후, 공통 범위를 찾습니다.

📝 예제 6: 연립일차부등식

{2x−3>5x+1≤4{2x−3>5x+1≤4​ 를 푸시오.

풀이
첫째 부등식: $2x>8$ → $x>4$
둘째 부등식: $x\le 3$
두 해의 공통 부분: $x>4$와 $x\le 3$을 동시에 만족하는 $x$는 없습니다.
따라서 해는 없음 (공집합)입니다.

📝 예제 7: 공통 범위 존재

{x−2≤13x+1>−5{x−2≤13x+1>−5​

풀이
첫째: $x\le 3$
둘째: $3x>-6$ → $x>-2$
공통 범위: $-2<x\le 3$
해는 $-2<x\le 3$ (수직선: -2는 빈 원, 3은 채운 원, 그 사이)

6. 일차부등식의 활용

일차부등식은 실생활의 범위 조건(예산, 시간, 최소/최대 조건 등)을 나타내는 데 사용됩니다.

📝 예제 8: 가격 문제

어떤 물건을 10개 이상 사면 개당 2000원, 그보다 적게 사면 개당 2500원이다. 25000원으로 최대 몇 개까지 살 수 있는지 구하시오.

풀이
$x$개를 산다고 하자.

• $x\ge 10$일 때: $2000x\le 25000$ → $x\le 12.5$ → $x\le 12$ (정수)
  따라서 $10\le x\le 12$ → 최대 12개

• $x<10$일 때: $2500x\le 25000$ → $x\le 10$ → 조건과 합치면 $x<10$
  이때 최대 9개

두 경우 중 더 큰 것은 12개이므로, 최대 12개 살 수 있다.

7. 종합 문제 풀이

🔍 문제 1: 기본 풀이

$3(x-2)+1\ge 2(x+1)-3$ 을 푸시오.

풀이

$$3x-6+1\ge 2x+2-3$$$$3x-5\ge 2x-1$$$$x\ge 4$$

🔍 문제 2: 연립부등식

{4x+1>2x−53−x≥2x+6{4x+1>2x−53−x≥2x+6​

풀이
첫째: $4x-2x>-5-1$ → $2x>-6$ → $x>-3$
둘째: $-x-2x\ge 6-3$ → $-3x\ge 3$ → $x\le -1$
공통 범위: $-3<x\le -1$

🔍 문제 3: 부등식의 해를 수직선으로

부등식 $2x-5\le 3$의 해를 수직선에 나타내시오.

풀이
$2x\le 8$ → $x\le 4$ → 수직선: 4에 채운 원, 왼쪽으로 화살표.

✨ 핵심 요약