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공통수학1 조합

학습 목표

조합의 개념을 이해하고, 순열과의 차이를 설명할 수 있다.
조합의 수 $_{n} C_{r}$ 를 계산할 수 있다.
조합의 성질( $_{n} C_{r} =_{n} C_{n - r}$ )을 이해하고 활용할 수 있다.
조합을 이용하여 다양한 문제(선택, 분할, 조합적 상황)를 해결할 수 있다.

1. 조합의 개념

1.1 조합이란?

조합이란 서로 다른 $n$ 개 중에서 $r$ 개를 순서를 고려하지 않고 선택하는 것을 말합니다. 즉, 선택된 원소들의 집합만 중요하며, 나열 순서는 고려하지 않습니다.

예를 들어, 숫자 1, 2, 3 중에서 2개를 선택하는 경우를 생각해 봅시다.

가능한 선택: {1,2}, {1,3}, {2,3} → 총 3가지
순열에서는 (1,2)와 (2,1)을 서로 다른 경우로 세었지만, 조합에서는 같은 하나의 집합으로 봅니다.

1.2 조합의 기호

서로 다른 $n$ 개에서 $r$ 개를 택하는 조합의 수를 기호로 $_{n} C_{r}$ 또는 $(r n)$ 로 나타냅니다.

2. 조합의 수 계산

2.1 순열과의 관계

순열은 순서를 고려한 것이고, 조합은 순서를 고려하지 않습니다.
$r$ 개를 선택하여 나열하는 순열의 수는, 먼저 $r$ 개를 선택(조합)한 후, 그 $r$ 개를 나열하는 방법( $r!$ )을 곱한 것과 같습니다.

$_{n} P_{r} =_{n} C_{r} \times r!$

따라서 조합의 수는

$_{n} C_{r} = r ! ^{n} P ^{r}$

2.2 공식

$_{n} C_{r} = r \times ( r - 1 ) \times \dots \times 1 n \times ( n - 1 ) \times \dots \times ( n - r + 1 )$

또는 팩토리얼을 이용하여

$_{n} C_{r} = r ! \cdot ( n - r )! n !$

(단, $0 \leq r \leq n$ , $_{n} C_{0} = 1$ , $_{n} C_{n} = 1$ )

📝 예제 1: 기본 조합 계산

$_{5} C_{2}$ 의 값을 구하시오.

풀이

$_{5} C_{2} = 2 \times 15 \times 4 = 220 = 10$

또는 $_{5} C_{2} = 2 ! \cdot 3 ! 5 ! = 2 \times 6 120 = 10$

3. 조합의 성질

3.1 대칭성

$_{n} C_{r} =_{n} C_{n - r}$

$r$ 개를 선택하는 것은 나머지 $n - r$ 개를 선택하는 것과 같습니다.

📝 예제 2: 성질 활용

$_{8} C_{3}$ 와 $_{8} C_{5}$ 의 값이 같음을 확인하시오.

풀이
$_{8} C_{3} = 3 \times 2 \times 1 8 \times 7 \times 6 = 56$ , $_{8} C_{5} = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 56$ → 같습니다.

3.2 파스칼의 삼각형 (심화)

조합은 다음과 같은 점화식을 만족합니다.

$_{n} C_{r} =_{n - 1} C_{r - 1} +_{n - 1} C_{r}$

이 성질은 파스칼의 삼각형으로 시각화할 수 있습니다.

4. 조합의 활용

📝 예제 3: 대표 선출

서로 다른 10명의 학생 중에서 3명의 대표를 뽑는 방법의 수를 구하시오.

풀이
순서 없이 단순히 3명을 선택하는 문제입니다.

$_{10} C_{3} = 3 \times 2 \times 110 \times 9 \times 8 = 120 가지$

📝 예제 4: 손님 초대

5명의 친구 중에서 2명을 선택하여 저녁 식사에 초대하려고 한다. 가능한 방법의 수는?

풀이

$_{5} C_{2} = 25 \times 4 = 10 가지$

📝 예제 5: 조합과 순열의 차이

반장 1명과 부반장 1명을 뽑는 경우(순서 있음)와 청소 당번 2명을 뽑는 경우(순서 없음)를 비교하시오. (단, 5명의 학생)

풀이

반장+부반장: 순서 중요 → 순열 → $_{5} P_{2} = 5 \times 4 = 20$ 가지
청소 당번 2명: 순서 없음 → 조합 → $_{5} C_{2} = 10$ 가지

5. 다양한 조합 문제

📝 예제 6: 여러 종류 중에서 선택

3가지 종류의 과일(사과, 배, 귤) 중에서 2개를 선택하는 방법의 수를 구하시오. (단, 같은 과일을 중복 선택하지 않음)

풀이
서로 다른 3개 중 2개를 선택 → $_{3} C_{2} = 3$ 가지. (사과+배, 사과+귤, 배+귤)

📝 예제 7: 조합을 이용한 증명

$_{n} C_{r} =_{n} C_{n - r}$ 를 식으로 증명하시오.

풀이

$_{n} C_{r} = r ! ( n - r )! n !,_{n} C_{n - r} = ( n - r )! \cdot ( n - ( n - r ))! n ! = ( n - r )! \cdot r ! n !$

따라서 두 값이 같습니다.

6. 종합 문제 풀이

🔍 문제 1: 기본 조합

$_{12} C_{4}$ 의 값을 구하시오.

풀이

$_{12} C_{4} = 4 \times 3 \times 2 \times 112 \times 11 \times 10 \times 9 = 2411880 = 495$

🔍 문제 2: 성질 이용

$_{10} C_{2} +_{10} C_{3}$ 을 계산하시오.

풀이
$_{10} C_{2} = 45$ , $_{10} C_{3} = 120$ → 합 = 165
(참고: $_{11} C_{3} = 165$ 로 파스칼 성질 확인 가능)

🔍 문제 3: 팀 구성

8명의 농구 선수 중에서 5명의 주전 선수를 뽑는 방법의 수는?

풀이

$_{8} C_{5} =_{8} C_{3} = 3 \times 2 \times 18 \times 7 \times 6 = 56 가지$

🔍 문제 4: 조합과 순열의 혼합

서로 다른 6권의 책 중에서 2권을 선택하여 선물로 주는 방법의 수와, 2권을 선택하여 책상 위에 일렬로 꽂는 방법의 수를 각각 구하시오.

풀이

선물(순서 없음): $_{6} C_{2} = 15$ 가지
꽂기(순서 있음): $_{6} P_{2} = 30$ 가지

✨ 핵심 요약

개념	설명	공식
조합	서로 다른 $n$ 개 중 $r$ 개를 순서 없이 선택	$_{n} C_{r} = r ! ( n - r )! n !$
성질	$_{n} C_{r} =_{n} C_{n - r}$
순열과 관계	$_{n} P_{r} =_{n} C_{r} \times r!$

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