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공통수학1 경우의 수

학습 목표

경우의 수를 구하는 기본 원리인 합의 법칙과 곱의 법칙을 이해한다.
합의 법칙과 곱의 법칙을 상황에 맞게 적용하여 경우의 수를 구할 수 있다.
순열의 개념을 이해하고, $n!$ 과 $_{n} P_{r}$ 을 계산할 수 있다.
조합의 개념을 이해하고, $_{n} C_{r}$ 을 계산할 수 있다.
순열과 조합의 차이를 구별하고, 문제 상황에 맞게 적용할 수 있다.

1. 경우의 수란?

경우의 수란 어떤 사건이 일어날 수 있는 모든 가능한 가짓수를 말합니다. 예를 들어, 주사위를 한 번 던져서 나올 수 있는 결과는 6가지이므로 경우의 수는 6입니다.

경우의 수를 구할 때는 합의 법칙과 곱의 법칙이라는 두 가지 기본 원리를 사용합니다.

2. 합의 법칙 (덧셈 법칙)

두 사건 $A$ 와 $B$ 가 동시에 일어나지 않을 때 (서로 배타적일 때), 사건 $A$ 또는 사건 $B$ 가 일어나는 경우의 수는 각 사건의 경우의 수를 더한 것과 같습니다.

$n (A \cup B) = n (A) + n (B) (단, A \cap B = \emptyset)$

📝 예제 1: 합의 법칙

주사위 한 개를 던질 때, 2의 배수가 나오거나 5의 배수가 나오는 경우의 수를 구하시오.

풀이

2의 배수가 나오는 경우: 2, 4, 6 → 3가지
5의 배수가 나오는 경우: 5 → 1가지
두 사건은 동시에 일어나지 않으므로(2의 배수이면서 5의 배수인 수는 없음) 합의 법칙을 적용합니다.

$3 + 1 = 4 가지$

3. 곱의 법칙 (곱셈 법칙)

사건 $A$ 가 일어나는 경우의 수가 $m$ 가지이고, 그 각각에 대하여 사건 $B$ 가 일어나는 경우의 수가 $n$ 가지일 때, 사건 $A$ 와 사건 $B$ 가 동시에 일어나는 경우의 수는 $m \times n$ 입니다.

📝 예제 2: 곱의 법칙

서로 다른 3개의 티셔츠와 2개의 바지가 있다. 이 중에서 티셔츠 1개와 바지 1개를 선택하여 입는 방법의 수를 구하시오.

풀이
티셔츠를 고르는 방법: 3가지
바지를 고르는 방법: 2가지
곱의 법칙에 의해 $3 \times 2 = 6$ 가지

4. 합의 법칙과 곱의 법칙의 혼합

여러 단계로 이루어진 경우의 수는 곱의 법칙을 적용하되, 경우에 따라 나누어 계산한 후 합의 법칙을 적용해야 할 수 있습니다.

📝 예제 3: 두 법칙의 혼합

주사위 한 개와 동전 한 개를 동시에 던질 때, 주사위는 짝수가 나오거나 동전은 앞면이 나오는 경우의 수를 구하시오.

풀이
전체 경우의 수를 구할 때는 합의 법칙을 적용하되, 중복되는 부분(주사위 짝수이면서 동전 앞면)을 주의해야 합니다.

주사위가 짝수인 경우: 3가지 (2,4,6) → 각각에 대해 동전은 앞/뒤 모두 가능하므로 $3 \times 2 = 6$ 가지
동전이 앞면인 경우: 1가지 (앞면) → 각각에 대해 주사위는 1~6 모두 가능하므로 $1 \times 6 = 6$ 가지
두 조건을 모두 만족하는 경우(주사위 짝수이면서 동전 앞면): $3 \times 1 = 3$ 가지

합의 법칙: $6 + 6 - 3 = 9$ 가지

5. 순열 (Permutation)

순열은 서로 다른 $n$ 개 중에서 $r$ 개를 순서를 고려하여 선택하여 나열하는 경우의 수입니다. 기호로 $_{n} P_{r}$ 또는 $P (n, r)$ 로 나타냅니다.

$_{n} P_{r} = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - r + 1)$

특히 $r = n$ 일 때, $n$ 개를 모두 나열하는 경우의 수를 $n!$ (n 팩토리얼)이라고 합니다.

$n! = n \times (n - 1) \times \dots \times 2 \times 1$ $0! = 1 로 정의합니다 .$

📝 예제 4: 순열

서로 다른 5개의 책 중에서 3권을 선택하여 일렬로 꽂는 방법의 수를 구하시오.

풀이
$_{5} P_{3} = 5 \times 4 \times 3 = 60$ 가지

📝 예제 5: 팩토리얼

$5!$ 의 값을 구하시오.

풀이
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

6. 조합 (Combination)

조합은 서로 다른 $n$ 개 중에서 $r$ 개를 순서를 고려하지 않고 선택하는 경우의 수입니다. 기호로 $_{n} C_{r}$ 또는 $(r n)$ 로 나타냅니다.

$_{n} C_{r} = r ! ^{n} P ^{r} = r \times ( r - 1 ) \times \dots \times 1 n \times ( n - 1 ) \times \dots \times ( n - r + 1 )$ $_{n} C_{r} =_{n} C_{n - r} (성질)$ $_{n} C_{0} = 1,_{n} C_{n} = 1$

📝 예제 6: 조합

서로 다른 6명의 학생 중에서 대표 2명을 뽑는 방법의 수를 구하시오.

풀이
$_{6} C_{2} = 2 \times 1 6 \times 5 = 2 30 = 15$ 가지

📝 예제 7: 순열과 조합의 차이

서로 다른 4개의 문자 A, B, C, D 중에서 2개를 선택하는 방법을 구하시오. (1) 순서를 고려할 때 (2) 순서를 고려하지 않을 때

풀이
(1) 순열: $_{4} P_{2} = 4 \times 3 = 12$ 가지
(2) 조합: $_{4} C_{2} = 2 \times 1 4 \times 3 = 6$ 가지

7. 종합 문제 풀이

🔍 문제 1: 합의 법칙

1부터 10까지의 자연수 중에서 3의 배수 또는 4의 배수의 개수를 구하시오.

풀이

3의 배수: 3, 6, 9 → 3개
4의 배수: 4, 8 → 2개
3과 4의 공배수(12의 배수): 1~10에는 없음
따라서 $3 + 2 = 5$ 개

🔍 문제 2: 곱의 법칙

어떤 식당에서 밥, 국, 반찬을 각각 선택하여 식사를 구성하려고 한다. 밥은 2종류, 국은 3종류, 반찬은 4종류 중에서 각각 하나씩 선택할 때, 가능한 식사 구성의 수를 구하시오.

풀이
$2 \times 3 \times 4 = 24$ 가지

🔍 문제 3: 순열

서로 다른 7개의 숫자 중에서 3개를 선택하여 세 자리 자연수를 만들 때, 만들 수 있는 모든 세 자리 자연수의 개수를 구하시오. (단, 0은 포함되지 않음)

풀이
$_{7} P_{3} = 7 \times 6 \times 5 = 210$ 개

🔍 문제 4: 조합

10명의 학생 중에서 4명의 청소 당번을 뽑는 방법의 수를 구하시오.

풀이
$_{10} C_{4} = 4 \times 3 \times 2 \times 1 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 24 5040 = 210$ 가지

✨ 핵심 요약

개념	설명	공식
합의 법칙	동시에 일어나지 않는 두 사건	$n (A) + n (B)$
곱의 법칙	동시에 일어나는 두 사건	$n (A) \times n (B)$
순열	순서를 고려하여 나열	$_{n} P_{r} = n \times (n - 1) \times \dots \times (n - r + 1)$
팩토리얼	1부터 n까지의 곱	$n! = n \times (n - 1) \times \dots \times 1$
조합	순서 없이 선택	$_{n} C_{r} = r ! ^{n} P ^{r}$

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