📚 학습 목표

• 판별식 D=b2−4acD=b2−4ac의 의미를 이해한다.

• 판별식의 값에 따른 이차방정식의 근의 종류(두 실근, 중근, 두 허근)를 판별할 수 있다.

• 짝수 공식을 이용한 판별식 D4=b′2−ac4D​=b′2−ac을 활용할 수 있다.

• 판별식을 이용하여 이차방정식의 계수나 미지수의 범위를 구할 수 있다.

• 이차방정식이 서로 다른 두 실근, 중근, 서로 다른 두 허근을 가질 조건을 이해하고 적용할 수 있다.

1. 판별식의 정의

1.1 판별식이란?

이차방정식 ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 (단, a≠0a=0)의 근은 근의 공식에 의해 다음과 같습니다 .

x=−b±b2−4ac2ax=2a−b±b2−4ac​​

이때 근호 안의 식 b2−4acb2−4ac를 판별식이라고 하며, 보통 기호 $D$로 나타냅니다 .

D=b2−4acD=b2−4ac

판별식은 이름 그대로 이차방정식의 근의 성질을 판별하는 식입니다. 근을 직접 구하지 않고도 $D$의 값만으로 근이 어떤 종류인지 알 수 있습니다 .

1.2 판별식을 배우는 이유

이차방정식의 근을 매번 근의 공식으로 구하지 않아도, $D$의 부호만 확인하면 근의 개수와 실수/허수 여부를 빠르게 파악할 수 있습니다. 이는 이후 배울 이차함수, 이차부등식에서도 핵심적으로 활용됩니다 .

2. 판별식에 따른 근의 판별

판별식 $D$의 값에 따라 이차방정식의 근은 다음과 같이 분류됩니다 .

📝 예제 1: 판별식으로 근 판별하기

다음 이차방정식의 근의 종류를 판별하시오.

1. x2−5x+6=0x2−5x+6=0

2. x2−4x+4=0x2−4x+4=0

3. x2+x+1=0x2+x+1=0

풀이

1. D=(−5)2−4⋅1⋅6=25−24=1>0D=(−5)2−4⋅1⋅6=25−24=1>0 → 서로 다른 두 실근 

2. D=(−4)2−4⋅1⋅4=16−16=0D=(−4)2−4⋅1⋅4=16−16=0 → 중근 

3. D=12−4⋅1⋅1=1−4=−3<0D=12−4⋅1⋅1=1−4=−3<0 → 서로 다른 두 허근 

💡 참고: 근의 개수에 관한 이해

• 이차방정식은 항상 2개의 근을 가집니다 (중복 포함) .

• $D>0$이면 서로 다른 두 실근, $D=0$이면 서로 같은 두 실근(중근), $D<0$이면 서로 다른 두 허근입니다 .

• “근이 없다”는 표현은 실수 범위에서만 성립하며, 복소수 범위에서는 항상 근이 존재합니다 .

3. 짝수 공식을 이용한 판별식 ($D/4$)

3.1 짝수 공식의 유도

이차방정식에서 일차항의 계수 $b$가 짝수인 경우 (b=2b′b=2b′), 근의 공식은 다음과 같이 간단해집니다 .

x=−2b′±(2b′)2−4ac2a=−2b′±2b′2−ac2a=−b′±b′2−acax=2a−2b′±(2b′)2−4ac​​=2a−2b′±2b′2−ac​​=a−b′±b′2−ac​​

이때 근호 안의 식 b′2−acb′2−ac를 D44D​로 나타내며, 다음과 같이 정의합니다 .

D4=b′2−ac(단, b=2b′)4D​=b′2−ac(단, b=2b′)

3.2 짝수 공식의 활용

짝수 공식을 사용하면 판별식 계산이 더 간편해집니다. 판별 조건은 $D$와 동일합니다 .

D4>0⇒서로 다른 두 실근4D​>0⇒서로 다른 두 실근D4=0⇒중근4D​=0⇒중근D4<0⇒서로 다른 두 허근4D​<0⇒서로 다른 두 허근

📝 예제 2: 짝수 공식 활용

x2−6x+7=0x2−6x+7=0의 근의 종류를 판별하시오.

풀이
$b=-6$이므로 b′=−3b′=−3입니다 .

D4=(−3)2−1⋅7=9−7=2>04D​=(−3)2−1⋅7=9−7=2>0

따라서 서로 다른 두 실근을 가집니다.

4. 근의 조건에 따른 판별식의 활용

4.1 실근, 중근, 허근 조건 정리

이차방정식 ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 (단, a≠0a=0, $a,b,c$는 실수)에 대하여 

📝 예제 3: 미지수의 범위 구하기 (1)

이차방정식 x2−4x+k=0x2−4x+k=0이 서로 다른 두 실근을 가질 때, 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

풀이
서로 다른 두 실근을 가지려면 $D>0$이어야 합니다 .

D=(−4)2−4⋅1⋅k=16−4k>0D=(−4)2−4⋅1⋅k=16−4k>0$$16>4k\Rightarrow k<4$$

따라서 $k<4$

📝 예제 4: 미지수의 범위 구하기 (2)

이차방정식 x2+2x+m=0x2+2x+m=0이 실근을 가질 때, 실수 $m$의 값의 범위를 구하시오.

풀이
실근을 가지려면 $D\ge 0$이어야 합니다 .

D=22−4⋅1⋅m=4−4m≥0D=22−4⋅1⋅m=4−4m≥0$$4\ge 4m\Rightarrow m\le 1$$

따라서 $m\le 1$

📝 예제 5: 중근을 가질 조건

이차방정식 x2−6x+k=0x2−6x+k=0이 중근을 가질 때, 상수 $k$의 값을 구하시오.

풀이
중근을 가지려면 $D=0$이어야 합니다 .

D=(−6)2−4⋅1⋅k=36−4k=0D=(−6)2−4⋅1⋅k=36−4k=0$$4k=36\Rightarrow k=9$$

따라서 $k=9$

📝 예제 6: 짝수 공식으로 중근 조건 구하기

이차방정식 x2−2(m+1)x+m2=0x2−2(m+1)x+m2=0이 중근을 가질 때, 실수 $m$의 값을 구하시오.

풀이
$b=-2(m+1)$이므로 b′=−(m+1)b′=−(m+1)입니다 .
중근 조건: D4=b′2−ac=04D​=b′2−ac=0

[−(m+1)]2−1⋅m2=0[−(m+1)]2−1⋅m2=0m2+2m+1−m2=0m2+2m+1−m2=02m+1=0⇒m=−122m+1=0⇒m=−21​

5. 판별식과 이차함수의 관계

판별식은 이차함수 y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c의 그래프와 $x$축의 교점 관계와도 밀접하게 연결됩니다.

이 관계는 이후 이차부등식에서 매우 중요하게 활용됩니다.

6. 종합 문제 풀이

🔍 문제 1: 근의 종류 판별

다음 이차방정식의 근의 종류를 판별하시오.
(1) 2×2−3x+1=02x2−3x+1=0
(2) x2+2x+2=0x2+2x+2=0
(3) 4×2−4x+1=04x2−4x+1=0

풀이
(1) D=(−3)2−4⋅2⋅1=9−8=1>0D=(−3)2−4⋅2⋅1=9−8=1>0 → 서로 다른 두 실근
(2) D=22−4⋅1⋅2=4−8=−4<0D=22−4⋅1⋅2=4−8=−4<0 → 서로 다른 두 허근
(3) D=(−4)2−4⋅4⋅1=16−16=0D=(−4)2−4⋅4⋅1=16−16=0 → 중근

🔍 문제 2: 미지수의 범위 (짝수 공식 활용)

이차방정식 x2+2kx+4=0x2+2kx+4=0이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

풀이
$b=2k$이므로 b′=kb′=k입니다.
D4=k2−1⋅4=k2−4>04D​=k2−1⋅4=k2−4>0
k2>4k2>4 → $k<-2$ 또는 $k>2$

🔍 문제 3: 두 조건을 만족하는 계수 구하기

이차방정식 x2+ax+b=0x2+ax+b=0이 $x=2$를 중근으로 가질 때, 상수 $a,b$의 값을 구하시오.

풀이
중근이 $x=2$이므로 방정식은 (x−2)2=0(x−2)2=0과 같아야 합니다.
(x−2)2=x2−4x+4(x−2)2=x2−4x+4
따라서 $a=-4$, $b=4$

🔍 문제 4: 판별식과 계수의 관계

이차방정식 2×2−3x+m=02x2−3x+m=0이 서로 다른 두 허근을 가질 때, 실수 $m$의 값의 범위를 구하시오.

풀이
서로 다른 두 허근 조건: $D<0$
D=(−3)2−4⋅2⋅m=9−8m<0D=(−3)2−4⋅2⋅m=9−8m<0
$9<8m$ → m>98m>89​

✨ 핵심 요약