📚 학습 목표

• 이차방정식의 두 근을 $\alpha ,\beta$로 나타낼 수 있다.

• 근과 계수의 관계 (Vieta’s formulas)를 이해하고 유도할 수 있다.

• 두 근의 합: α+β=−baα+β=−ab​, 두 근의 곱: αβ=caαβ=ac​ 임을 활용할 수 있다.

• 근과 계수의 관계를 이용하여 이차방정식의 계수를 구하거나, 근에 관한 여러 대칭식의 값을 계산할 수 있다.

• 주어진 두 수를 근으로 하는 이차방정식을 세울 수 있다.

1. 근과 계수의 관계 유도

1.1 이차방정식의 근

이차방정식 ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 (단, a≠0a=0)의 두 근을 $\alpha ,\beta$라고 하면, 근의 공식에 의해

α=−b+D2a,β=−b−D2aα=2a−b+D​​,β=2a−b−D​​

(단, D=b2−4acD=b2−4ac) 입니다.

1.2 근의 합과 곱

위 두 근을 더하고 곱하면 다음과 같은 중요한 관계가 얻어집니다.

• 두 근의 합:

  α+β=−b+D2a+−b−D2a=−2b2a=−baα+β=2a−b+D​​+2a−b−D​​=2a−2b​=−ab​

• 두 근의 곱:

  αβ=(−b+D)(−b−D)4a2=b2−D4a2=b2−(b2−4ac)4a2=4ac4a2=caαβ=4a2(−b+D​)(−b−D​)​=4a2b2−D​=4a2b2−(b2−4ac)​=4a24ac​=ac​

따라서 이차방정식 ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0의 두 근 $\alpha ,\beta$에 대하여

α+β=−ba,αβ=caα+β=−ab​,αβ=ac​​

이 성립합니다. 이 관계를 근과 계수의 관계라고 합니다.

1.3 인수분해를 이용한 유도

이차방정식 ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0의 두 근이 $\alpha ,\beta$이면, 이차식은 다음과 같이 인수분해됩니다.

ax2+bx+c=a(x−α)(x−β)ax2+bx+c=a(x−α)(x−β)

우변을 전개하면

a(x−α)(x−β)=a{x2−(α+β)x+αβ}a(x−α)(x−β)=a{x2−(α+β)x+αβ}

좌변과 비교하면

ax2+bx+c=ax2−a(α+β)x+aαβax2+bx+c=ax2−a(α+β)x+aαβ

양변의 계수를 비교하여 같은 결과를 얻습니다.

2. 근과 계수의 관계의 활용

2.1 기본 예제

📝 예제 1

이차방정식 2×2+3x−4=02x2+3x−4=0의 두 근을 $\alpha ,\beta$라 할 때, $\alpha +\beta$와 $\alpha \beta$의 값을 구하시오.

풀이
$a=2,b=3,c=-4$이므로

α+β=−32,αβ=−42=−2α+β=−23​,αβ=2−4​=−2

2.2 근에 관한 대칭식의 값 구하기

두 근의 합과 곱만 알면, 근에 관한 여러 대칭식(근을 서로 바꾸어도 값이 같은 식)의 값을 구할 수 있습니다.

📝 예제 2

이차방정식 x2−5x+3=0x2−5x+3=0의 두 근을 $\alpha ,\beta$라 할 때, 다음 값을 구하시오.
(1) α2+β2α2+β2
(2) 1α+1βα1​+β1​

풀이
먼저 $\alpha +\beta =5$, $\alpha \beta =3$ 입니다.

(1) α2+β2=(α+β)2−2αβ=52−2⋅3=25−6=19α2+β2=(α+β)2−2αβ=52−2⋅3=25−6=19

(2) 1α+1β=α+βαβ=53α1​+β1​=αβα+β​=35​

2.3 두 근의 차

두 근의 차 $|\alpha -\beta |$도 합과 곱으로 표현할 수 있습니다.

(α−β)2=(α+β)2−4αβ(α−β)2=(α+β)2−4αβ

따라서

∣α−β∣=(α+β)2−4αβ∣α−β∣=(α+β)2−4αβ​

📝 예제 3

이차방정식 x2−4x+1=0x2−4x+1=0의 두 근의 차를 구하시오.

풀이
$\alpha +\beta =4$, $\alpha \beta =1$

(α−β)2=42−4⋅1=16−4=12⇒∣α−β∣=12=23(α−β)2=42−4⋅1=16−4=12⇒∣α−β∣=12​=23​

2.4 새로운 이차방정식 세우기

두 수 $\alpha ,\beta$를 근으로 하고, x2x2의 계수가 1인 이차방정식은

x2−(α+β)x+αβ=0x2−(α+β)x+αβ=0

입니다. 일반적으로 x2x2의 계수를 $a$로 하려면 양변에 $a$를 곱하면 됩니다.

📝 예제 4

두 근의 합이 3, 곱이 -4인 이차방정식을 구하시오. (단, x2x2의 계수는 1)

풀이
x2−(합)x+(곱)=0x2−(합)x+(곱)=0 에서

x2−3x−4=0x2−3x−4=0

📝 예제 5

두 근이 1+21+2​와 1−21−2​인 이차방정식을 구하시오. (단, 계수는 정수)

풀이
합: (1+2)+(1−2)=2(1+2​)+(1−2​)=2
곱: (1+2)(1−2)=1−2=−1(1+2​)(1−2​)=1−2=−1
따라서 방정식은 x2−2x−1=0x2−2x−1=0.

3. 근과 계수의 관계와 판별식의 연결

근과 계수의 관계는 판별식과 함께 사용되어 근의 부호나 실근/허근 여부를 분석하는 데 활용됩니다.

3.1 두 근의 부호 판별

이차방정식 ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 (단, $a>0$)의 두 근 $\alpha ,\beta$의 부호는 다음과 같이 판별할 수 있습니다.

📝 예제 6

이차방정식 x2−5x+6=0x2−5x+6=0의 두 근의 부호를 판별하시오.

풀이
$\alpha +\beta =5>0$, $\alpha \beta =6>0$ → 두 근 모두 양수.

4. 종합 문제 풀이

🔍 문제 1: 기본

이차방정식 3×2−2x−1=03x2−2x−1=0의 두 근을 $\alpha ,\beta$라 할 때, 다음 값을 구하시오.
(1) $\alpha +\beta$, $\alpha \beta$
(2) α2+β2α2+β2
(3) αβ+βαβα​+αβ​

풀이
(1) α+β=−−23=23α+β=−3−2​=32​, αβ=−13αβ=3−1​
(2) α2+β2=(α+β)2−2αβ=(23)2−2(−13)=49+23=49+69=109α2+β2=(α+β)2−2αβ=(32​)2−2(−31​)=94​+32​=94​+96​=910​
(3) αβ+βα=α2+β2αβ=109−13=109×(−3)=−103βα​+αβ​=αβα2+β2​=−31​910​​=910​×(−3)=−310​

🔍 문제 2: 새로운 방정식

두 근이 각각 $\alpha +1,\beta +1$인 이차방정식을 구하시오. (단, $\alpha ,\beta$는 x2−3x+1=0x2−3x+1=0의 두 근)

풀이
원래 근: $\alpha +\beta =3$, $\alpha \beta =1$
새 근의 합: $(\alpha +1)+(\beta +1)=(\alpha +\beta )+2=3+2=5$
새 근의 곱: $(\alpha +1)(\beta +1)=\alpha \beta +(\alpha +\beta )+1=1+3+1=5$
따라서 새 방정식: x2−5x+5=0x2−5x+5=0

🔍 문제 3: 계수 구하기

이차방정식 x2+kx+2=0x2+kx+2=0의 두 근의 차가 3일 때, 양수 $k$의 값을 구하시오.

풀이
$\alpha +\beta =-k$, $\alpha \beta =2$
두 근의 차: ∣α−β∣=(α+β)2−4αβ=k2−8=3∣α−β∣=(α+β)2−4αβ​=k2−8​=3
양변 제곱: k2−8=9k2−8=9 → k2=17k2=17 → k=17k=17​ (∵ $k>0$)

🔍 문제 4: 근의 부호와 실근 조건

이차방정식 x2−2mx+m+2=0x2−2mx+m+2=0이 서로 다른 두 양의 실근을 갖도록 하는 실수 $m$의 값의 범위를 구하시오.

풀이
조건:

1. 서로 다른 두 실근 → 판별식 $D>0$

2. 두 근이 모두 양수 → (합) $>0$, (곱) $>0$

D=(−2m)2−4⋅1⋅(m+2)=4m2−4m−8=4(m2−m−2)>0D=(−2m)2−4⋅1⋅(m+2)=4m2−4m−8=4(m2−m−2)>0
m2−m−2>0m2−m−2>0 → $(m-2)(m+1)>0$ → $m<-1$ 또는 $m>2$ …①

합: $2m>0$ → $m>0$ …②
곱: $m+2>0$ → $m>-2$ …③

①,②,③의 교집합: $m>2$

✨ 핵심 요약