학습 목표

• 이차함수의 정의와 표준형을 이해한다.

• 이차함수 y=ax2y=ax2의 그래프의 성질을 이해한다.

• 이차함수 y=a(x−p)2+qy=a(x−p)2+q의 그래프를 y=ax2y=ax2의 그래프를 평행이동하여 그릴 수 있다.

• 이차함수 y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c를 표준형으로 변환할 수 있다.

• 이차함수의 그래프의 꼭짓점, 축, $x$절편, $y$절편, 정의역, 치역을 구할 수 있다.

• 이차함수의 그래프의 성질(개형, 최댓값·최솟값)을 이해한다.

1. 이차함수의 정의

이차함수란, 함수 $f(x)$가 $x$에 대한 이차식으로 나타내어지는 함수입니다. 일반적으로 다음과 같은 형태로 표현합니다.

y=ax2+bx+c(단, a,b,c는 상수, a≠0)y=ax2+bx+c(단, a,b,c는 상수, a=0)

여기서 $a$는 이차항의 계수, $b$는 일차항의 계수, $c$는 상수항이라고 합니다.

이차함수의 그래프는 포물선 모양을 가지며, $a$의 부호에 따라 아래로 볼록(위로 열린 형태) 또는 위로 볼록(아래로 열린 형태)이 됩니다.

2. 기본 이차함수 y=ax2y=ax2의 그래프

가장 기본적인 이차함수 y=ax2y=ax2의 그래프는 원점 $(0,0)$을 꼭짓점으로 하고, $y$축을 축(대칭축)으로 하는 포물선입니다.

$|a|$가 클수록 그래프의 폭이 좁아지고(급격하게 퍼짐), $|a|$가 작을수록 폭이 넓어집니다(완만하게 퍼짐).

📝 예제 1: 기본 그래프의 개형

y=2×2y=2x2, y=12×2y=21​x2, y=−x2y=−x2의 그래프의 특징을 비교하시오.

풀이

• y=2×2y=2x2 : $a=2>0$ → 아래로 볼록, 꼭짓점 (0,0), 축 $x=0$. 폭이 좁다.

• y=12×2y=21​x2 : a=12>0a=21​>0 → 아래로 볼록, 꼭짓점 (0,0), 축 $x=0$. 폭이 넓다.

• y=−x2y=−x2 : $a=-1<0$ → 위로 볼록, 꼭짓점 (0,0), 축 $x=0$.

3. 이차함수 y=a(x−p)2+qy=a(x−p)2+q의 그래프

이차함수 y=a(x−p)2+qy=a(x−p)2+q는 y=ax2y=ax2의 그래프를 $x$축 방향으로 $p$만큼, $y$축 방향으로 $q$만큼 평행이동한 그래프입니다.

• 꼭짓점: $(p,q)$

• 축(대칭축): 직선 $x=p$

• 개형: $a>0$이면 아래로 볼록, $a<0$이면 위로 볼록

📝 예제 2: 표준형 그래프 그리기

y=2(x−3)2+1y=2(x−3)2+1의 그래프의 꼭짓점, 축, 개형을 설명하고, y=2×2y=2x2의 그래프를 어떻게 이동해야 하는지 말하시오.

풀이

• $a=2>0$ → 아래로 볼록

• 꼭짓점: $(3,1)$

• 축: $x=3$

• y=2×2y=2x2의 그래프를 $x$축 방향으로 $+3$, $y$축 방향으로 $+1$만큼 평행이동하면 얻을 수 있습니다.

4. 이차함수 y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c의 표준형 변환

일반형 y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c를 표준형 y=a(x−p)2+qy=a(x−p)2+q로 바꾸기 위해 완전제곱식을 이용합니다.

변환 방법

1. x2x2의 계수 $a$로 x2x2항과 $x$항을 묶습니다.

2. 괄호 안에서 $x$의 계수의 절반의 제곱을 더하고 빼서 완전제곱식을 만듭니다.

3. 정리하여 a(x−p)2+qa(x−p)2+q 형태로 만듭니다.

📝 예제 3: 일반형을 표준형으로

y=2×2−4x+5y=2x2−4x+5를 표준형으로 바꾸고, 꼭짓점과 축을 구하시오.

풀이

y=2×2−4x+5=2(x2−2x)+5=2(x2−2x+1−1)+5=2((x−1)2−1)+5=2(x−1)2−2+5=2(x−1)2+3y​=2x2−4x+5=2(x2−2x)+5=2(x2−2x+1−1)+5=2((x−1)2−1)+5=2(x−1)2−2+5=2(x−1)2+3​

따라서 꼭짓점: $(1,3)$, 축: $x=1$, 아래로 볼록 ($a=2>0$).

5. 이차함수의 그래프와 절편

5.1 $y$절편

$x=0$일 때의 함숫값 $y=c$입니다. 따라서 $y$절편은 $(0,c)$입니다.

5.2 $x$절편 (근)

$y=0$일 때의 $x$값입니다. 이차방정식 ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0의 실근이 존재하면 그 값이 $x$절편이 됩니다.
판별식 D=b2−4acD=b2−4ac에 따라 $x$절편의 개수가 결정됩니다.

• $D>0$: 서로 다른 두 $x$절편

• $D=0$: 한 $x$절편 (꼭짓점이 $x$축에 접함)

• $D<0$: $x$절편 없음 (실수 범위에서)

📝 예제 4: 절편 구하기

y=x2−4x+3y=x2−4x+3의 $y$절편과 $x$절편을 구하시오.

풀이

• $y$절편: $x=0$ → $y=3$ → $(0,3)$

• $x$절편: x2−4x+3=0x2−4x+3=0 → $(x-1)(x-3)=0$ → $x=1$ 또는 $x=3$ → $(1,0),(3,0)$

6. 정의역과 치역

• 정의역: 이차함수는 모든 실수 $x$에 대해 정의되므로, 특별한 제한이 없다면 정의역은 실수 전체 $\mathbb{R}$입니다.

• 치역: 꼭짓점의 $y$좌표 $q$와 $a$의 부호에 따라 결정됩니다.

📝 예제 5: 치역 구하기

y=−2(x+1)2+4y=−2(x+1)2+4의 치역을 구하시오.

풀이
$a=-2<0$이므로 그래프는 위로 볼록이고, 꼭짓점 $(-1,4)$에서 최댓값 $4$를 가집니다. 따라서 치역은 $y\le 4$입니다.

7. 이차함수의 최댓값과 최솟값

이차함수의 최댓값 또는 최솟값은 꼭짓점의 $y$좌표에서 나타납니다.

• $a>0$: 최솟값 = $q$ (꼭짓점의 $y$좌표)

• $a<0$: 최댓값 = $q$

정의역이 실수 전체일 때는 위와 같지만, 정의역이 특정 구간으로 제한될 때는 구간의 경계값도 확인해야 합니다. (고등학교 과정에서는 주로 실수 전체에서 다룹니다.)

8. 종합 문제 풀이

🔍 문제 1: 그래프의 평행이동

이차함수 y=3×2y=3x2의 그래프를 $x$축 방향으로 $-2$, $y$축 방향으로 $5$만큼 평행이동한 함수의 식을 구하고, 꼭짓점과 축을 말하시오.

풀이
평행이동 후: y=3(x+2)2+5y=3(x+2)2+5
꼭짓점: $(-2,5)$, 축: $x=-2$

🔍 문제 2: 표준형 변환과 성질

y=−x2+6x−5y=−x2+6x−5를 표준형으로 바꾸고, 꼭짓점, 축, 최댓값 또는 최솟값을 구하시오.

풀이

y=−(x2−6x)−5=−(x2−6x+9−9)−5=−((x−3)2−9)−5=−(x−3)2+9−5=−(x−3)2+4y​=−(x2−6x)−5=−(x2−6x+9−9)−5=−((x−3)2−9)−5=−(x−3)2+9−5=−(x−3)2+4​

• 꼭짓점: $(3,4)$

• 축: $x=3$

• $a=-1<0$ → 최댓값 $4$

🔍 문제 3: 절편과 치역

y=x2−4x−5y=x2−4x−5의 $x$절편, $y$절편, 치역을 구하시오.

풀이

• $y$절편: $x=0$ → $y=-5$ → $(0,-5)$

• $x$절편: x2−4x−5=0x2−4x−5=0 → $(x-5)(x+1)=0$ → $x=5$ 또는 $x=-1$ → $(5,0),(-1,0)$

• 표준형 변환: y=(x−2)2−9y=(x−2)2−9 → 꼭짓점 $(2,-9)$, $a=1>0$ → 치역 $y\ge -9$

✨ 핵심 요약