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공통수학1 삼차방정식과 사차방정식

학습 목표

삼차방정식과 사차방정식의 정의를 이해한다.
인수분해를 이용하여 삼차방정식과 사차방정식을 풀 수 있다.
치환을 이용하여 복잡한 고차방정식을 풀 수 있다.
복이차방정식(사차방정식의 특수 형태)의 풀이 방법을 익힌다.
삼차방정식과 사차방정식의 근과 계수의 관계를 이해한다.

1. 고차방정식의 정의

1.1 삼차방정식

최고차항의 차수가 3인 방정식을 삼차방정식이라고 합니다. 일반적인 형태는

$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0 (단, a \neq = 0)$

입니다.

1.2 사차방정식

최고차항의 차수가 4인 방정식을 사차방정식이라고 합니다. 일반적인 형태는

$a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e = 0 (단, a \neq = 0)$

입니다.

고차방정식은 일반적으로 인수분해를 통해 차수를 낮추어 해결합니다. 인수분해가 어려운 경우에는 인수정리를 활용하여 근을 찾는 것이 효과적입니다.

2. 인수분해를 이용한 풀이

2.1 인수정리 활용

인수정리에 따르면, 다항식 $P (x)$ 에 대하여 $P (α) = 0$ 이면 $x - α$ 는 $P (x)$ 의 인수입니다. 이를 이용하여 고차방정식의 해를 구할 수 있습니다.

📝 예제 1: 삼차방정식의 인수분해

방정식 $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 = 0$ 을 푸시오.

풀이
$P (1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$ 이므로 $x - 1$ 은 인수입니다. 조립제법을 적용합니다.

1 │ 1  -6   11  -6
  │     1   -5   6
  ────────────────
    1  -5    6   0

몫은 $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ 입니다.
따라서 $(x - 1) (x - 2) (x - 3) = 0$ → $x = 1, 2, 3$

📝 예제 2: 사차방정식의 인수분해

방정식 $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$ 을 푸시오.

풀이
$x^{2} = t$ 로 치환하면 $t^{2} - 5 t + 4 = 0$ → $(t - 1) (t - 4) = 0$ → $t = 1$ 또는 $t = 4$
$x^{2} = 1$ → $x = \pm 1$ , $x^{2} = 4$ → $x = \pm 2$
따라서 $x = \pm 1, \pm 2$

3. 치환을 이용한 풀이

3.1 복이차방정식

$a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ 꼴의 방정식을 복이차방정식이라고 합니다. $x^{2} = t$ 로 치환하여 이차방정식으로 바꾸어 풉니다.

📝 예제 3: 복이차방정식

$x^{4} - 8 x^{2} - 9 = 0$ 을 푸시오.

풀이
$x^{2} = t$ 라 하면 $t^{2} - 8 t - 9 = 0$ → $(t - 9) (t + 1) = 0$ → $t = 9$ 또는 $t = - 1$

$t = 9$ → $x^{2} = 9$ → $x = \pm 3$
$t = - 1$ → $x^{2} = - 1$ → $x = \pm i$ (복소수 범위에서)
따라서 실수 범위에서는 $x = \pm 3$ , 복소수 범위에서는 $x = \pm 3, \pm i$

3.2 대칭 형태의 방정식

방정식이 $x$ 와 $x 1$ 의 대칭 형태로 나타날 때, $x + x 1 = t$ 로 치환하여 풀 수 있습니다.

📝 예제 4: 대칭형 방정식

$2 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ 을 푸시오.

풀이
$x = 0$ 은 해가 아니므로 양변을 $x^{2}$ 으로 나눕니다.

$2 x^{2} - 5 x + 6 - x 5 + x ^{2} 2 = 0$ $2 (x^{2} + x ^{2} 1) - 5 (x + x 1) + 6 = 0$

$t = x + x 1$ 라 하면 $x^{2} + x ^{2} 1 = t^{2} - 2$ 입니다.

$2 (t^{2} - 2) - 5 t + 6 = 0 \Rightarrow 2 t^{2} - 4 - 5 t + 6 = 0 \Rightarrow 2 t^{2} - 5 t + 2 = 0$ $(2 t - 1) (t - 2) = 0 \Rightarrow t = 21 또는 t = 2$

$t = 2$ : $x + x 1 = 2$ → $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ → $(x - 1)^{2} = 0$ → $x = 1$ (중근)
$t = 2 1$ : $x + x 1 = 2 1$ → $2 x^{2} - x + 2 = 0$ → 판별식 $D = 1 - 16 = - 15 < 0$ → 실근 없음 (복소근 $x = 4 1 \pm 15 i$ )
따라서 실수 범위에서는 $x = 1$ (중근)입니다.

4. 삼차방정식의 근과 계수의 관계

삼차방정식 $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ 의 세 근을 $α, β, γ$ 라고 하면

$α + β + γ = - a b$ $α β + β γ + γ α = a c$ $α β γ = - a d$

📝 예제 5: 근과 계수의 관계

방정식 $x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 2 = 0$ 의 세 근을 $α, β, γ$ 라 할 때, 다음 값을 구하시오.
(1) $α + β + γ$
(2) $α β + β γ + γ α$
(3) $α β γ$
(4) $α^{2} + β^{2} + γ^{2}$

풀이
(1) $α + β + γ = - 1 -3 = 3$
(2) $α β + β γ + γ α = 1 4 = 4$
(3) $α β γ = - 1 -2 = 2$
(4) $α^{2} + β^{2} + γ^{2} = (α + β + γ)^{2} - 2 (α β + β γ + γ α) = 3^{2} - 2 \cdot 4 = 9 - 8 = 1$

5. 사차방정식의 근과 계수의 관계

사차방정식 $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e = 0$ 의 네 근을 $α, β, γ, δ$ 라고 하면

$α + β + γ + δ = - a b$ $α β + α γ + α δ + β γ + β δ + γ δ = a c$ $α β γ + α β δ + α γ δ + β γ δ = - a d$ $α β γ δ = a e$

6. 종합 문제 풀이

🔍 문제 1: 인수분해를 이용한 풀이

방정식 $x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 을 푸시오.

풀이
$P (1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$ → $x - 1$ 인수
조립제법:

1 │ 1  -2  -5   6
  │     1  -1  -6
  ────────────────
    1  -1  -6   0

몫: $x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)$
따라서 $(x - 1) (x - 3) (x + 2) = 0$ → $x = 1, 3, - 2$

🔍 문제 2: 복이차방정식

$x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$ 을 푸시오.

풀이
$x^{2} = t$ → $t^{2} - 6 t + 8 = 0$ → $(t - 2) (t - 4) = 0$ → $t = 2$ 또는 $t = 4$

$x^{2} = 2$ → $x = \pm 2$
$x^{2} = 4$ → $x = \pm 2$
따라서 $x = \pm 2, \pm 2$

🔍 문제 3: 삼차방정식의 근과 계수

방정식 $x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 1 = 0$ 의 세 근을 $α, β, γ$ 라 할 때, $α 1 + β 1 + γ 1$ 의 값을 구하시오.

풀이

$α 1 + β 1 + γ 1 = α β γ α β + β γ + γ α$

$α + β + γ = 5$ , $α β + β γ + γ α = 6$ , $α β γ = 1$
따라서 $1 6 = 6$

🔍 문제 4: 대칭형 방정식

$x^{4} + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 을 푸시오.