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공통수학1 이차부등식

학습 목표

이차부등식의 뜻을 이해하고, 이차함수의 그래프와 연결하여 생각할 수 있다.
판별식과 이차항의 계수의 부호를 이용하여 이차부등식의 해를 구할 수 있다.
이차부등식의 해를 수직선 위에 나타낼 수 있다.
연립이차부등식을 풀 수 있다.
이차부등식을 활용하여 실생활 문제를 해결할 수 있다.

1. 이차부등식의 정의

이차부등식은 미지수 $x$ 에 대한 최고차항의 차수가 2인 부등식을 말합니다. 일반적인 형태는 다음과 같습니다.

$a x^{2} + b x + c > 0, a x^{2} + b x + c < 0, a x^{2} + b x + c \geq 0, a x^{2} + b x + c \leq 0 (단, a \neq = 0)$

이차부등식의 해는 이차함수 $y = a x^{2} + b x + c$ 의 그래프를 이용하면 직관적으로 구할 수 있습니다.

2. 이차함수 그래프와 이차부등식의 해

이차함수 $y = a x^{2} + b x + c$ 의 그래프는 포물선입니다. 이 그래프를 이용하여 이차부등식의 해는 다음과 같이 구합니다.

조건	그래프와 $x$ 축의 관계	부등식 $a x^{2} + b x + c > 0$ 의 해
$a > 0$ , $D > 0$	아래로 볼록, 두 점에서 만남	$x < α$ 또는 $x > β$ ( $α, β$ 는 근, $α < β$ )
$a > 0$ , $D = 0$	아래로 볼록, 한 점에서 접함	$x \neq = α$ 인 모든 실수 (접점 제외)
$a > 0$ , $D < 0$	아래로 볼록, 만나지 않음	모든 실수
$a < 0$ , $D > 0$	위로 볼록, 두 점에서 만남	$α < x < β$ ( $α, β$ 는 근, $α < β$ )
$a < 0$ , $D = 0$	위로 볼록, 한 점에서 접함	해 없음 (접점에서는 0)
$a < 0$ , $D < 0$	위로 볼록, 만나지 않음	해 없음

부등호 방향이 반대( $< 0$ , $\leq 0$ )인 경우는 위의 표에서 영역이 반전됩니다.

3. 이차부등식의 풀이 단계

이차항의 계수 $a$ 의 부호를 확인합니다.
판별식 $D = b^{2} - 4 a c$ 를 계산하여 근의 존재 여부를 파악합니다.
이차방정식 $a x^{2} + b x + c = 0$ 의 실근을 구합니다 (존재하는 경우).
이차함수의 그래프 개형을 떠올리며 부등식을 만족하는 $x$ 의 범위를 구합니다.

📝 예제 1: $a > 0$ , $D > 0$ 인 경우

$x^{2} - 5 x + 6 > 0$ 을 푸시오.

풀이
$a = 1 > 0$ , $D = 25 - 24 = 1 > 0$ → 두 실근
방정식 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ → $(x - 2) (x - 3) = 0$ → $x = 2, 3$
아래로 볼록이므로 $> 0$ 인 구간은 두 근의 바깥쪽입니다.
따라서 해는 $x < 2$ 또는 $x > 3$

📝 예제 2: $a > 0$ , $D < 0$ 인 경우

$x^{2} + x + 1 > 0$ 을 푸시오.

풀이
$a = 1 > 0$ , $D = 1 - 4 = - 3 < 0$ → 실근 없음
아래로 볼록이고 $x$ 축과 만나지 않으므로 모든 $x$ 에서 $y > 0$ 입니다.
따라서 해는 모든 실수

📝 예제 3: $a < 0$ , $D > 0$ 인 경우

$- x^{2} + 2 x + 3 > 0$ 을 푸시오.

풀이
$a = - 1 < 0$ , $D = 4 + 12 = 16 > 0$ → 두 실근
방정식 $- x^{2} + 2 x + 3 = 0$ → $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ → $(x - 3) (x + 1) = 0$ → $x = - 1, 3$
위로 볼록이므로 $> 0$ 인 구간은 두 근의 사이입니다.
따라서 해는 $- 1 < x < 3$

📝 예제 4: $a < 0$ , $D = 0$ 인 경우

$- x^{2} + 4 x - 4 \geq 0$ 을 푸시오.

풀이
$a = - 1 < 0$ , $D = 16 - 16 = 0$ → 중근
방정식 $- x^{2} + 4 x - 4 = 0$ → $x^{2} - 4 x + 4 = 0$ → $(x - 2)^{2} = 0$ → $x = 2$ (중근)
위로 볼록이고 $x = 2$ 에서 $x$ 축에 접합니다. $y \geq 0$ 인 부분은 접점뿐입니다.
따라서 해는 $x = 2$

4. 연립이차부등식

두 개 이상의 이차부등식을 동시에 만족하는 $x$ 의 범위를 구합니다. 각 부등식의 해를 구한 후, 공통 범위(교집합)를 구합니다.

📝 예제 5: 연립이차부등식

${x^{2} - 4 x + 3 > 0 x^{2} - 2 x - 8 \leq 0$ 를 푸시오.

풀이
첫째 부등식: $x^{2} - 4 x + 3 > 0$ → $(x - 1) (x - 3) > 0$ → $x < 1$ 또는 $x > 3$
둘째 부등식: $x^{2} - 2 x - 8 \leq 0$ → $(x - 4) (x + 2) \leq 0$ → $- 2 \leq x \leq 4$
공통 범위: $(- 2 \leq x < 1)$ 또는 $(3 < x \leq 4)$

5. 이차부등식의 활용

이차부등식은 실생활에서 이차함수로 표현되는 상황의 범위 조건을 구할 때 사용됩니다.

📝 예제 6: 이익 조건

어떤 상품의 가격을 $x$ 천원으로 정할 때, 하루 판매량이 $(100 - 2 x)$ 개라고 한다. 하루 판매 금액이 1200천원 이상이 되도록 하는 가격 $x$ 의 범위를 구하시오. (단, $x > 0$ )

풀이
판매 금액 = $x \times (100 - 2 x) = - 2 x^{2} + 100 x$ (천원)
조건: $- 2 x^{2} + 100 x \geq 1200$ → $- 2 x^{2} + 100 x - 1200 \geq 0$
양변을 $- 2$ 로 나누면 부등호 방향 반전: $x^{2} - 50 x + 600 \leq 0$
$(x - 20) (x - 30) \leq 0$ → $20 \leq x \leq 30$
가격은 2만원 이상 3만원 이하일 때 목표를 달성합니다.

6. 종합 문제 풀이

🔍 문제 1: 기본 이차부등식

$2 x^{2} - 3 x - 2 < 0$ 을 푸시오.

풀이
방정식 $2 x^{2} - 3 x - 2 = 0$ → $(2 x + 1) (x - 2) = 0$ → $x = - 2 1, 2$
$a = 2 > 0$ (아래로 볼록), 부등호 방향 $<$ 이므로 두 근의 사이가 해입니다.
따라서 $- 2 1 < x < 2$

🔍 문제 2: 중근을 갖는 경우

$x^{2} - 6 x + 9 \leq 0$ 을 푸시오.

풀이
$x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2} \leq 0$
$(x - 3)^{2}$ 는 항상 0 이상이므로, 부등식을 만족하는 것은 $(x - 3)^{2} = 0$ 일 때뿐입니다.
따라서 $x = 3$

🔍 문제 3: 해가 없는 경우

$x^{2} - 2 x + 3 < 0$ 을 푸시오.

풀이
$a = 1 > 0$ , $D = 4 - 12 = - 8 < 0$ → 실근 없음
아래로 볼록이고 $x$ 축과 만나지 않으므로 모든 $x$ 에서 $y > 0$ 입니다.
따라서 $y < 0$ 인 $x$ 는 존재하지 않습니다. → 해 없음

🔍 문제 4: 연립이차부등식

${x^{2} - 9 \geq 0 x^{2} - 2 x - 3 < 0$ 를 푸시오.

풀이
첫째: $x^{2} - 9 \geq 0$ → $(x - 3) (x + 3) \geq 0$ → $x \leq - 3$ 또는 $x \geq 3$
둘째: $x^{2} - 2 x - 3 < 0$ → $(x - 3) (x + 1) < 0$ → $- 1 < x < 3$
공통 범위: 첫째와 둘째의 교집합 → $x \geq 3$ 과 $- 1 < x < 3$ 의 공통은 $x = 3$ ? 그런데 둘째 부등식은 등호가 없어서 $x = 3$ 은 포함되지 않습니다. 따라서 공통 범위는 없습니다. → 해 없음

✨ 핵심 요약

$a$ 의 부호	$D$	$a x^{2} + b x + c > 0$ 의 해
$a > 0$	$D > 0$	$x < α$ 또는 $x > β$
$a > 0$	$D = 0$	$x \neq = α$ 인 모든 실수
$a > 0$	$D < 0$	모든 실수
$a < 0$	$D > 0$	$α < x < β$
$a < 0$	$D = 0$	해 없음
$a < 0$	$D < 0$	해 없음

$α, β$ 는 $a x^{2} + b x + c = 0$ 의 두 실근 ( $α < β$ )

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