평면도형 – 원과 부채꼴

학습 목표

• 원의 뜻과 구성 요소를 이해할 수 있다.

• 반지름, 지름, 현, 호의 의미를 설명할 수 있다.

• 부채꼴의 뜻을 이해할 수 있다.

• 중심각과 호의 관계를 설명할 수 있다.

• 원과 부채꼴에 관련된 문제를 해결할 수 있다.

1. 원이란?

원의 뜻

평면 위의 한 점에서 같은 거리에 있는 점들의 모임을 원이라고 합니다.

이때 기준이 되는 점을 원의 중심이라고 합니다.

원의 중심을 O, 중심에서 원 위의 한 점까지의 거리를 r이라고 하면 원 위의 모든 점 P에 대하여

$$
OP=r
$$

이 성립합니다.

원의 중심

원의 중심은 원을 그릴 때 기준이 되는 점입니다.

보통 대문자 O로 나타냅니다.

예를 들어 컴퍼스로 원을 그릴 때 컴퍼스 바늘을 꽂는 점이 중심입니다.

2. 반지름

반지름의 뜻

원의 중심과 원 위의 한 점을 연결한 선분을 반지름이라고 합니다.

중심이 O이고 원 위의 점이 A이면

$$
\overline{OA}
$$

는 반지름입니다.

반지름의 성질

한 원에서 모든 반지름의 길이는 같습니다.

예를 들어

$$
OA=OB=OC
$$

입니다.

3. 지름

지름의 뜻

중심을 지나면서 원 위의 두 점을 연결한 선분을 지름이라고 합니다.

중심 O를 지나고 양 끝점이 A, B인 선분

$$
\overline{AB}
$$

는 지름입니다.

지름과 반지름의 관계

지름은 반지름의 2배입니다.

반지름을 r이라고 하면

$$
지름 = 2r
$$

입니다.

또는 지름을 d라고 하면

$$
d=2r
$$

입니다.

4. 현

현의 뜻

원의 두 점을 연결한 선분을 현이라고 합니다.

예를 들어 원 위의 두 점 A, B를 연결한

$$
\overline{AB}
$$

는 현입니다.

현의 특징

• 지름도 현의 한 종류입니다.

• 중심을 지나는 현이 가장 깁니다.

• 가장 긴 현이 바로 지름입니다.

5. 호

호의 뜻

원 위의 두 점 사이의 원의 일부분을 호라고 합니다.

예를 들어 원 위의 두 점 A와 B 사이의 곡선 부분을

호 AB라고 합니다.

호의 종류

작은 호

짧은 쪽의 호

큰 호

긴 쪽의 호

반원을 이루는 경우에는 두 호의 길이가 같습니다.

6. 부채꼴

부채꼴의 뜻

두 반지름과 그 사이의 호로 둘러싸인 도형을 부채꼴이라고 합니다.

중심이 O이고 반지름 OA, OB와 호 AB로 이루어진 도형을

부채꼴 AOB라고 합니다.

부채꼴의 구성 요소

부채꼴은 다음 요소로 이루어집니다.

• 중심

• 두 개의 반지름

• 하나의 호

• 중심각

7. 중심각

중심각의 뜻

원의 중심을 꼭짓점으로 하는 각을 중심각이라고 합니다.

예를 들어

$$
\angle AOB
$$

의 꼭짓점이 중심 O라면

$$
\angle AOB
$$

는 중심각입니다.

중심각의 범위

중심각의 크기는

$$
0^\circ
$$

보다 크고

$$
360^\circ
$$

이하입니다.

8. 중심각과 호의 관계

중심각이 클수록 호도 길어진다

같은 원 또는 합동인 두 원에서

중심각의 크기가 클수록 호의 길이도 길어집니다.

예를 들어

$$
\angle AOB > \angle COD
$$

이면

호 AB의 길이가 호 CD의 길이보다 깁니다.

중심각이 같으면 호의 길이도 같다

같은 원 또는 합동인 두 원에서

$$
\angle AOB=\angle COD
$$

이면

호 AB와 호 CD의 길이는 같습니다.

9. 반원

반원의 뜻

지름에 의해 원이 둘로 나누어진 각각의 부분을 반원이라고 합니다.

반원의 중심각

반원의 중심각은

$$
180^\circ
$$

입니다.

10. 원의 대칭성

원은 중심을 기준으로 완전히 대칭인 도형입니다.

모든 반지름의 길이가 같기 때문에 어느 방향으로 돌려도 같은 모양이 됩니다.

예제 1

반지름이

$$
5cm
$$

인 원의 지름을 구하여라.

풀이

지름은 반지름의 2배입니다.

$$
d=2r
$$

$$
d=2\times5
$$

$$
d=10
$$

정답

$$
10cm
$$

예제 2

지름이

$$
12cm
$$

인 원의 반지름을 구하여라.

풀이

반지름은 지름의 절반입니다.

$$
r=\frac{d}{2}
$$

$$
r=\frac{12}{2}
$$

$$
r=6
$$

정답

$$
6cm
$$

예제 3

다음 중 원의 가장 긴 현은 무엇인가?

① 반지름

② 호

③ 지름

④ 중심각

풀이

중심을 지나는 현이 가장 길며 이를 지름이라고 합니다.

정답

③

예제 4

중심각의 크기가

$$
120^\circ
$$

인 부채꼴이 있다.

이 부채꼴의 호에 대응하는 중심각의 크기는 얼마인가?

풀이

호와 대응하는 중심각의 크기는 같습니다.

정답

$$
120^\circ
$$

핵심 정리

• 원은 한 점에서 같은 거리에 있는 점들의 모임이다.

• 중심과 원 위의 한 점을 연결한 선분을 반지름이라고 한다.

• 중심을 지나는 현을 지름이라고 한다.

• 지름은 반지름의 2배이다.

$$
d=2r
$$

• 원 위의 두 점을 연결한 선분을 현이라고 한다.

• 원 위의 두 점 사이의 곡선 부분을 호라고 한다.

• 두 반지름과 하나의 호로 이루어진 도형을 부채꼴이라고 한다.

• 원의 중심을 꼭짓점으로 하는 각을 중심각이라고 한다.

• 같은 원에서 중심각이 클수록 대응하는 호의 길이도 길어진다.

• 반원의 중심각은

$$
180^\circ
$$

이다.