평면도형 – 다각형

학습 목표

• 다각형의 뜻을 이해할 수 있다.

• 다각형의 종류를 변의 개수에 따라 구분할 수 있다.

• 대각선의 뜻을 이해할 수 있다.

• 다각형의 대각선의 개수를 구할 수 있다.

• 정다각형의 뜻과 성질을 설명할 수 있다.

1. 다각형이란?

다각형의 뜻

같은 평면 위에 있는 여러 개의 선분으로 둘러싸인 도형을 다각형이라고 합니다.

다각형을 이루는 선분들을 변이라고 하고, 변과 변이 만나는 점을 꼭짓점이라고 합니다.

예를 들어 삼각형, 사각형, 오각형 등은 모두 다각형입니다.

다각형이 되기 위한 조건

다각형은 다음 조건을 만족해야 합니다.

1. 선분으로만 이루어져 있어야 한다.

2. 선분들이 서로 연결되어 있어야 한다.

3. 선분들이 한 번씩만 만나야 한다.

4. 도형이 완전히 닫혀 있어야 한다.

따라서 곡선이 포함된 도형은 다각형이 아닙니다.

2. 다각형의 구성 요소

다각형은 다음 요소들로 이루어집니다.

변

다각형을 이루는 선분입니다.

예를 들어 삼각형 ABC에서

$$
\overline{AB},\ \overline{BC},\ \overline{CA}
$$

는 모두 변입니다.

꼭짓점

두 변이 만나는 점입니다.

삼각형 ABC의 꼭짓점은

$$
A,\ B,\ C
$$

입니다.

각

한 꼭짓점에서 만나는 두 변이 이루는 각입니다.

예를 들어

$$
\angle A,\ \angle B,\ \angle C
$$

는 삼각형의 내각입니다.

3. 다각형의 종류

다각형은 변의 개수에 따라 이름이 달라집니다.

4. 대각선

대각선의 뜻

다각형에서 이웃하지 않은 두 꼭짓점을 연결한 선분을 대각선이라고 합니다.

예를 들어 사각형 ABCD에서

$$
\overline{AC}
$$

와

$$
\overline{BD}
$$

는 대각선입니다.

대각선이 아닌 경우

이웃한 두 꼭짓점을 연결한 선분은 변입니다.

따라서 대각선이 아닙니다.

예를 들어

$$
\overline{AB}
$$

는 변이지 대각선이 아닙니다.

5. 대각선의 개수

사각형의 대각선

사각형에는

$$
2
$$

개의 대각선이 있습니다.

오각형의 대각선

오각형에는

$$
5
$$

개의 대각선이 있습니다.

육각형의 대각선

육각형에는

$$
9
$$

개의 대각선이 있습니다.

n각형의 대각선의 개수

n각형의 대각선의 개수는 다음 공식으로 구할 수 있습니다.

$$
\frac{n(n-3)}{2}
$$

예시

사각형

$$
\frac{4(4-3)}{2}

2
$$

오각형

$$
\frac{5(5-3)}{2}

5
$$

육각형

$$
\frac{6(6-3)}{2}

9
$$

6. 정다각형

정다각형의 뜻

모든 변의 길이가 같고 모든 각의 크기가 같은 다각형을 정다각형이라고 합니다.

정다각형의 조건

모든 변의 길이가 같다.

예를 들어 정오각형에서는

$$
AB=BC=CD=DE=EA
$$

입니다.

모든 내각의 크기가 같다.

예를 들어 정오각형에서는

$$
\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=\angle E
$$

입니다.

7. 정다각형의 예

정삼각형

세 변의 길이가 모두 같고 세 각의 크기가 모두 같습니다.

$$
60^\circ,\ 60^\circ,\ 60^\circ
$$

정사각형

네 변의 길이가 모두 같고 네 각의 크기가 모두 같습니다.

$$
90^\circ,\ 90^\circ,\ 90^\circ,\ 90^\circ
$$

정오각형

다섯 변의 길이가 모두 같고 다섯 각의 크기가 모두 같습니다.

정육각형

여섯 변의 길이가 모두 같고 여섯 각의 크기가 모두 같습니다.

8. 볼록다각형과 오목다각형

볼록다각형

모든 내각의 크기가

$$
180^\circ
$$

보다 작은 다각형입니다.

일반적으로 교과서에서 다루는 대부분의 다각형은 볼록다각형입니다.

오목다각형

한 개 이상의 내각의 크기가

$$
180^\circ
$$

보다 큰 다각형입니다.

안쪽으로 들어간 부분이 있는 다각형입니다.

예제 1

다음 중 다각형이 아닌 것은?

① 삼각형

② 사각형

③ 원

④ 오각형

풀이

원은 곡선으로 이루어져 있으므로 다각형이 아닙니다.

정답

③

예제 2

육각형의 대각선의 개수를 구하여라.

풀이

대각선의 개수 공식

$$
\frac{n(n-3)}{2}
$$

에

$$
n=6
$$

을 대입하면

$$
\frac{6(6-3)}{2}

\frac{18}{2}

9
$$

정답

$$
9
$$

개

예제 3

정다각형의 조건으로 옳은 것은?

① 변의 길이만 같다.

② 각의 크기만 같다.

③ 변의 길이와 각의 크기가 모두 같다.

④ 변의 개수만 같다.

풀이

정다각형은 모든 변의 길이와 모든 각의 크기가 같아야 합니다.

정답

③

핵심 정리

• 선분으로 둘러싸인 닫힌 도형을 다각형이라고 한다.

• 변의 개수에 따라 삼각형, 사각형, 오각형 등으로 구분한다.

• 이웃하지 않은 두 꼭짓점을 연결한 선분을 대각선이라고 한다.

• n각형의 대각선의 개수는

$$
\frac{n(n-3)}{2}
$$

이다.

• 모든 변의 길이와 모든 각의 크기가 같은 다각형을 정다각형이라고 한다.

• 정삼각형, 정사각형, 정오각형, 정육각형은 모두 정다각형이다.

• 볼록다각형의 모든 내각은

$$
180^\circ
$$

보다 작다.