입체도형 – 회전체

학습 목표

• 회전체의 뜻을 이해할 수 있다.

• 회전축의 의미를 설명할 수 있다.

• 회전체를 만드는 평면도형을 알 수 있다.

• 원기둥, 원뿔, 구의 성질을 이해할 수 있다.

• 실생활 속 회전체의 예를 찾을 수 있다.

1. 회전체란?

회전체의 뜻

평면도형을 한 직선을 축으로 하여 한 바퀴 회전시켜 만든 입체도형을 회전체라고 합니다.

회전할 때 기준이 되는 직선을 회전축이라고 합니다.

회전체는 곡면을 가지는 입체도형이므로 일반적으로 다면체가 아닙니다.

회전체의 예

다음과 같은 물건들은 회전체의 좋은 예입니다.

• 음료수 캔

• 아이스크림 콘

• 축구공

• 야구공

• 전구

• 원형 컵

2. 회전축

회전축의 뜻

평면도형을 회전시킬 때 기준이 되는 직선을 회전축이라고 합니다.

회전축은 회전하는 동안 움직이지 않습니다.

회전체의 모양은 어떤 선을 회전축으로 선택하느냐에 따라 달라집니다.

3. 직사각형을 회전시키면?

직사각형을 한 변을 축으로 하여 한 바퀴 회전시키면 원기둥이 만들어집니다.

원기둥

직사각형을 회전시켜 만든 회전체를 원기둥이라고 합니다.

원기둥은

• 위쪽 원

• 아래쪽 원

• 곡면

으로 이루어져 있습니다.

원기둥의 특징

• 밑면이 원이다.

• 윗면과 아랫면이 서로 평행하다.

• 두 밑면은 합동이다.

• 옆면은 곡면이다.

4. 직각삼각형을 회전시키면?

직각삼각형을 한 직각을 이루는 변을 축으로 하여 회전시키면 원뿔이 만들어집니다.

원뿔

직각삼각형을 회전시켜 만든 회전체를 원뿔이라고 합니다.

원뿔의 구성 요소

밑면

원 모양의 면

꼭짓점

원뿔의 가장 뾰족한 점

옆면

곡면으로 이루어진 부분

원뿔의 특징

• 밑면은 원이다.

• 꼭짓점이 1개 있다.

• 옆면은 곡면이다.

5. 반원을 회전시키면?

반원을 지름을 축으로 하여 한 바퀴 회전시키면 구가 만들어집니다.

구

반원을 회전시켜 만든 회전체를 구라고 합니다.

구의 특징

• 모든 점이 중심에서 같은 거리에 있다.

• 면이 모두 곡면으로 이루어져 있다.

• 꼭짓점이 없다.

• 모서리가 없다.

구의 중심

구 안의 한 점에서 구의 표면까지의 거리가 모두 같을 때 그 점을 중심이라고 합니다.

구의 반지름

구의 중심에서 구의 표면까지의 거리를 반지름이라고 합니다.

반지름을

$$
r
$$

이라고 나타냅니다.

6. 회전체 만들기

이 관계는 매우 중요하므로 반드시 기억해야 합니다.

7. 회전체와 다면체 비교

회전체

• 회전하여 만든 입체도형

• 곡면을 가진다.

• 원기둥, 원뿔, 구 등이 있다.

다면체

• 다각형의 면으로 이루어진 입체도형

• 평면만 가진다.

• 정육면체, 삼각기둥, 사각뿔 등이 있다.

8. 실생활 속 회전체

원기둥

예시

• 음료수 캔

• 휴지심

• 원형 기둥

원뿔

예시

• 아이스크림 콘

• 깔때기

• 교통안전 고깔

구

예시

• 축구공

• 농구공

• 지구본

9. 회전체의 단면

원기둥의 단면

원기둥을 밑면과 평행하게 자르면 원이 됩니다.

원뿔의 단면

원뿔을 밑면과 평행하게 자르면 원이 됩니다.

구의 단면

구를 자르면 단면은 항상 원이 됩니다.

가장 큰 단면은 중심을 지나는 원입니다.

예제 1

직사각형을 한 변을 축으로 하여 회전시키면 어떤 입체도형이 되는가?

풀이

직사각형을 회전시키면 원기둥이 만들어집니다.

정답

원기둥

예제 2

직각삼각형을 한 직각변을 축으로 회전시키면 어떤 입체도형이 되는가?

풀이

직각삼각형을 회전시키면 원뿔이 만들어집니다.

정답

원뿔

예제 3

반원을 지름을 축으로 하여 회전시키면 어떤 입체도형이 되는가?

풀이

반원을 회전시키면 구가 만들어집니다.

정답

구

예제 4

다음 중 회전체가 아닌 것은?

① 원기둥

② 원뿔

③ 구

④ 정육면체

풀이

정육면체는 다면체이며 회전체가 아닙니다.

정답

④

예제 5

다음 중 꼭짓점이 있는 회전체는?

① 구

② 원기둥

③ 원뿔

④ 원

풀이

원뿔은 꼭짓점을 하나 가지고 있습니다.

정답

③

핵심 정리

• 평면도형을 회전축을 중심으로 한 바퀴 회전하여 만든 입체도형을 회전체라고 한다.

• 회전의 기준이 되는 직선을 회전축이라고 한다.

• 직사각형을 회전시키면 원기둥이 된다.

• 직각삼각형을 회전시키면 원뿔이 된다.

• 반원을 회전시키면 구가 된다.

• 원기둥은 두 개의 원형 밑면과 곡면을 가진다.

• 원뿔은 한 개의 원형 밑면과 꼭짓점을 가진다.

• 구는 모든 점이 중심에서 같은 거리에 있는 입체도형이다.

• 회전체는 곡면을 가지므로 일반적으로 다면체가 아니다.

• 회전체의 대표적인 예는 원기둥, 원뿔, 구이다.