학습 목표

• 작도의 뜻을 이해할 수 있다.

• 컴퍼스와 자를 이용하여 기본 작도를 할 수 있다.

• 선분의 수직이등분선과 각의 이등분선을 작도할 수 있다.

• 합동의 뜻과 성질을 이해할 수 있다.

• 두 도형이 합동인지 판단할 수 있다.

1. 작도란?

작도란 눈금이 없는 자와 컴퍼스를 이용하여 도형을 정확하게 그리는 것을 말합니다.

작도는 도형의 성질을 이용하여 원하는 길이와 각을 정확하게 나타내는 방법입니다.

작도에 사용하는 도구

눈금이 없는 자

• 두 점을 연결하여 직선을 그릴 수 있습니다.

• 길이를 측정할 수는 없습니다.

컴퍼스

• 일정한 거리를 옮길 수 있습니다.

• 원이나 호를 그릴 수 있습니다.

2. 선분의 길이 옮기기

주어진 선분과 같은 길이의 선분을 그리는 작도입니다.

예를 들어

$$
\overline{AB}
$$

의 길이를 다른 위치에 옮기고 싶다면 다음과 같이 합니다.

작도 방법

1. 새로운 시작점 P를 정한다.

2. 컴퍼스를 이용하여 선분 AB의 길이를 잰다.

3. 중심을 P에 두고 호를 그린다.

4. 호와 만나는 점을 Q라고 한다.

그러면

$$
PQ = AB
$$

가 됩니다.

3. 선분의 수직이등분선

수직이등분선의 뜻

선분을 수직으로 만나면서 정확히 둘로 나누는 직선을 수직이등분선이라고 합니다.

예를 들어 선분 AB의 수직이등분선 위의 점 P는

$$
PA = PB
$$

를 만족합니다.

즉, 선분의 양 끝점까지의 거리가 같습니다.

수직이등분선 작도 방법

선분

$$
\overline{AB}
$$

가 주어졌다고 합시다.

작도 순서

1. 컴퍼스의 폭을 선분 AB의 절반보다 크게 벌린다.

2. A를 중심으로 위아래에 호를 그린다.

3. 같은 폭으로 B를 중심으로 호를 그린다.

4. 두 호의 교점을 각각 P, Q라고 한다.

5. P와 Q를 연결한다.

직선 PQ가 선분 AB의 수직이등분선입니다.

수직이등분선의 성질

수직이등분선 위의 임의의 점 P에 대하여

$$
PA = PB
$$

가 항상 성립합니다.

4. 각의 이등분선

각의 이등분선의 뜻

각을 크기가 같은 두 각으로 나누는 반직선을 각의 이등분선이라고 합니다.

예를 들어

$$
\angle AOB
$$

의 이등분선이 반직선 OP이면

$$
\angle AOP = \angle POB
$$

입니다.

각의 이등분선 작도 방법

작도 순서

1. 꼭짓점 O를 중심으로 호를 그린다.

2. 호가 두 변과 만나는 점을 A, B라고 한다.

3. A와 B를 중심으로 같은 크기의 호를 그린다.

4. 두 호의 교점을 P라고 한다.

5. O와 P를 연결한다.

반직선 OP가 각의 이등분선입니다.

각의 이등분선의 성질

각의 이등분선 위의 점은 각의 두 변까지의 거리가 같습니다.

5. 합동이란?

합동의 뜻

한 도형을 이동, 뒤집기, 돌리기 하였을 때 다른 도형과 완전히 겹쳐지면 두 도형은 합동이라고 합니다.

즉,

• 모양이 같고

• 크기가 같아야 합니다.

합동 기호

두 도형이 합동이면

$$
\cong
$$

기호를 사용합니다.

예를 들어

삼각형 ABC와 삼각형 DEF가 합동이면

$$
\triangle ABC \cong \triangle DEF
$$

와 같이 나타냅니다.

6. 대응점, 대응변, 대응각

합동인 두 도형에서는 서로 대응되는 부분이 있습니다.

대응점

서로 겹쳐지는 점

예를 들어

$$
\triangle ABC \cong \triangle DEF
$$

이면

• A ↔ D

• B ↔ E

• C ↔ F

입니다.

대응변

서로 대응하는 변

$$
AB = DE
$$

$$
BC = EF
$$

$$
CA = FD
$$

대응각

서로 대응하는 각

$$
\angle A = \angle D
$$

$$
\angle B = \angle E
$$

$$
\angle C = \angle F
$$

7. 합동인 도형의 성질

합동인 두 도형에서는

대응변의 길이가 같다.

$$
AB = DE
$$

대응각의 크기가 같다.

$$
\angle A = \angle D
$$

둘레의 길이가 같다.

8. 합동 여부 판단하기

다음 두 조건을 모두 만족해야 합동입니다.

1. 크기가 같다.

2. 모양이 같다.

크기만 같거나 모양만 같으면 합동이 아닙니다.

예제 1

선분 AB의 수직이등분선 위의 점 P에 대하여 옳은 것은?

①

$$
PA > PB
$$

②

$$
PA < PB
$$

③

$$
PA = PB
$$

풀이

수직이등분선 위의 점은 양 끝점까지의 거리가 같습니다.

정답

③

$$
PA = PB
$$

예제 2

반직선 OP가

$$
\angle AOB
$$

의 이등분선일 때

$$
\angle AOP = 35^\circ
$$

이다.

$$
\angle POB
$$

의 크기를 구하시오.

풀이

각의 이등분선은 각을 똑같이 나눕니다.

따라서

$$
\angle POB = 35^\circ
$$

정답

$$
35^\circ
$$

예제 3

다음 중 합동인 도형의 성질이 아닌 것은?

① 대응변의 길이가 같다.

② 대응각의 크기가 같다.

③ 넓이가 같다.

④ 모양만 같으면 된다.

풀이

합동은 모양과 크기가 모두 같아야 합니다.

정답

④

핵심 정리

• 작도는 눈금 없는 자와 컴퍼스를 이용하여 도형을 정확하게 그리는 것이다.

• 선분의 수직이등분선 위의 점은 양 끝점까지의 거리가 같다.

$$
PA = PB
$$

• 각의 이등분선은 각을 같은 크기의 두 각으로 나눈다.

$$
\angle AOP = \angle POB
$$

• 두 도형이 완전히 겹쳐지면 합동이다.

• 합동은

$$
\cong
$$

기호로 나타낸다.

• 합동인 도형의 대응변의 길이와 대응각의 크기는 각각 같다.

• 합동은 크기와 모양이 모두 같아야 한다.