입체도형 – 입체도형의 겉넓이

학습 목표

• 겉넓이의 뜻을 이해할 수 있다.

• 전개도를 이용하여 겉넓이를 구할 수 있다.

• 각기둥의 겉넓이를 구할 수 있다.

• 원기둥의 겉넓이를 구할 수 있다.

• 다양한 입체도형의 겉넓이를 계산할 수 있다.

1. 겉넓이란?

겉넓이의 뜻

입체도형의 겉면 전체의 넓이를 겉넓이라고 합니다.

즉, 입체도형을 둘러싸고 있는 모든 면의 넓이를 더한 값입니다.

겉넓이 구하는 방법

겉넓이는 보통 전개도를 이용하여 구합니다.

전개도란 입체도형의 면을 펼쳐 놓은 그림입니다.

겉넓이 = 모든 면의 넓이의 합

2. 각기둥의 겉넓이

각기둥의 구성

각기둥은

• 윗면

• 아랫면

• 옆면들

로 이루어져 있습니다.

각기둥의 겉넓이

각기둥의 겉넓이는

$$
겉넓이=(밑면의 넓이 \times 2)+(옆넓이)
$$

입니다.

옆넓이

옆면들을 모두 펼치면 하나의 직사각형이 됩니다.

따라서

$$
옆넓이=(밑면의 둘레)\times(높이)
$$

입니다.

각기둥의 겉넓이 공식

$$
겉넓이=(밑면의 넓이 \times 2)+(밑면의 둘레 \times 높이)
$$

3. 직육면체의 겉넓이

직육면체

가로를 a, 세로를 b, 높이를 h라고 하면

면은 모두 6개입니다.

직육면체의 겉넓이

마주 보는 면끼리 넓이가 같습니다.

따라서

$$
겉넓이

2(ab+bh+ah)
$$

입니다.

예시

가로

$$
4cm
$$

세로

$$
3cm
$$

높이

$$
2cm
$$

인 직육면체의 겉넓이는

$$
2(4\times3+3\times2+4\times2)
$$

$$

2(12+6+8)
$$

$$

52
$$

정답

$$
52cm^2
$$

4. 정육면체의 겉넓이

정육면체

모든 면이 정사각형인 입체도형입니다.

한 모서리의 길이를

$$
a
$$

라고 합니다.

정육면체의 겉넓이

정사각형 6개로 이루어져 있으므로

$$
겉넓이=6a^2
$$

입니다.

예시

한 모서리의 길이가

$$
5cm
$$

일 때

$$
겉넓이

6\times5^2
$$

$$

6\times25
$$

$$

150
$$

정답

$$
150cm^2
$$

5. 원기둥의 겉넓이

원기둥의 구성

원기둥은

• 위쪽 원

• 아래쪽 원

• 옆면

으로 이루어져 있습니다.

밑면의 넓이

반지름이

$$
r
$$

이면

$$
\pi r^2
$$

입니다.

원이 두 개이므로

$$
2\pi r^2
$$

입니다.

옆넓이

원기둥의 옆면을 펼치면 직사각형이 됩니다.

직사각형의 가로는 밑면의 원주입니다.

따라서

$$
2\pi r
$$

입니다.

높이를

$$
h
$$

라고 하면

$$
옆넓이=2\pi rh
$$

입니다.

원기둥의 겉넓이 공식

$$
겉넓이

2\pi r^2+2\pi rh
$$

입니다.

또는

$$
겉넓이

2\pi r(r+h)
$$

로 나타낼 수 있습니다.

6. 전개도를 이용한 겉넓이

입체도형의 전개도를 그리면 겉넓이를 쉽게 구할 수 있습니다.

겉넓이는 전개도에 나타난 모든 면의 넓이를 더하면 됩니다.

전개도의 장점

• 면의 개수를 쉽게 확인할 수 있다.

• 빠뜨리는 면 없이 계산할 수 있다.

• 복잡한 입체도형도 쉽게 계산할 수 있다.

7. 겉넓이를 구할 때 주의할 점

모든 면을 더해야 한다.

보이지 않는 면도 포함해야 합니다.

단위를 확인해야 한다.

넓이의 단위는

$$
cm^2,\ m^2
$$

등을 사용합니다.

면을 중복 계산하지 않는다.

같은 면을 두 번 더하지 않도록 주의해야 합니다.

예제 1

한 모서리의 길이가

$$
4cm
$$

인 정육면체의 겉넓이를 구하여라.

풀이

$$
겉넓이=6a^2
$$

$$
=6\times4^2
$$

$$
=6\times16
$$

$$
=96
$$

정답

$$
96cm^2
$$

예제 2

가로

$$
5cm
$$

세로

$$
4cm
$$

높이

$$
3cm
$$

인 직육면체의 겉넓이를 구하여라.

풀이

$$
겉넓이

2(ab+ah+bh)
$$

$$

2(5\times4+5\times3+4\times3)
$$

$$

2(20+15+12)
$$

$$

94
$$

정답

$$
94cm^2
$$

예제 3

반지름이

$$
3cm
$$

높이가

$$
5cm
$$

인 원기둥의 겉넓이를 구하여라.

풀이

$$
겉넓이

2\pi r^2+2\pi rh
$$

$$

2\pi(3)^2+2\pi(3)(5)
$$

$$

18\pi+30\pi
$$

$$

48\pi
$$

정답

$$
48\pi cm^2
$$

핵심 정리

• 입체도형의 모든 겉면의 넓이의 합을 겉넓이라고 한다.

• 전개도를 이용하면 겉넓이를 쉽게 구할 수 있다.

• 각기둥의 겉넓이는

$$
(밑면의 넓이 \times 2)+(밑면의 둘레 \times 높이)
$$

이다.

• 직육면체의 겉넓이는

$$
2(ab+ah+bh)
$$

이다.

• 정육면체의 겉넓이는

$$
6a^2
$$

이다.

• 원기둥의 겉넓이는

$$
2\pi r^2+2\pi rh
$$

이다.

• 겉넓이를 구할 때는 모든 면을 빠짐없이 계산해야 한다.