입체도형 – 다면체

학습 목표

• 입체도형과 다면체의 뜻을 이해할 수 있다.

• 다면체를 이루는 면, 모서리, 꼭짓점을 구분할 수 있다.

• 다양한 다면체의 종류를 설명할 수 있다.

• 각기둥과 각뿔을 구별할 수 있다.

• 오일러의 정리를 이용하여 다면체의 면, 모서리, 꼭짓점의 수를 구할 수 있다.

1. 입체도형이란?

입체도형의 뜻

길이, 너비, 높이를 가지는 도형을 입체도형이라고 합니다.

우리가 생활 속에서 보는 대부분의 물체는 입체도형입니다.

예를 들어

• 주사위

• 상자

• 축구공

• 음료수 캔

등이 모두 입체도형입니다.

2. 다면체란?

다면체의 뜻

평면인 다각형들로만 둘러싸인 입체도형을 다면체라고 합니다.

즉, 모든 면이 다각형으로 이루어진 입체도형입니다.

다면체가 아닌 경우

곡면이 포함된 입체도형은 다면체가 아닙니다.

예를 들어

• 원기둥

• 원뿔

• 구

는 곡면이 있으므로 다면체가 아닙니다.

3. 다면체의 구성 요소

다면체는 면, 모서리, 꼭짓점으로 이루어져 있습니다.

면

다면체를 이루는 평평한 부분을 면이라고 합니다.

모든 면은 다각형입니다.

예를 들어 정육면체는

$$
6
$$

개의 면을 가지고 있습니다.

모서리

두 면이 만나는 선분을 모서리라고 합니다.

정육면체는

$$
12
$$

개의 모서리를 가지고 있습니다.

꼭짓점

세 개 이상의 모서리가 만나는 점을 꼭짓점이라고 합니다.

정육면체는

$$
8
$$

개의 꼭짓점을 가지고 있습니다.

4. 다면체의 종류

각기둥

두 밑면이 서로 평행하고 합동인 다면체를 각기둥이라고 합니다.

옆면은 모두 직사각형입니다.

삼각기둥

밑면이 삼각형인 각기둥

사각기둥

밑면이 사각형인 각기둥

오각기둥

밑면이 오각형인 각기둥

각뿔

밑면이 다각형이고 옆면이 모두 삼각형인 다면체를 각뿔이라고 합니다.

모든 옆면은 한 점에서 만납니다.

이 점을 꼭짓점이라고 합니다.

삼각뿔

밑면이 삼각형인 각뿔

사각뿔

밑면이 사각형인 각뿔

오각뿔

밑면이 오각형인 각뿔

5. 정다면체

정다면체의 뜻

모든 면이 합동인 정다각형이고, 각 꼭짓점에 모이는 면의 수가 모두 같은 다면체를 정다면체라고 합니다.

정다면체는 단 5가지뿐입니다.

정사면체

• 면의 수 : 4개

• 모든 면이 정삼각형

정육면체

• 면의 수 : 6개

• 모든 면이 정사각형

주사위의 모양이 대표적인 예입니다.

정팔면체

• 면의 수 : 8개

• 모든 면이 정삼각형

정십이면체

• 면의 수 : 12개

• 모든 면이 정오각형

정이십면체

• 면의 수 : 20개

• 모든 면이 정삼각형

6. 오일러의 정리

다면체에서는 면의 수, 모서리의 수, 꼭짓점의 수 사이에 일정한 관계가 있습니다.

이를 오일러의 정리라고 합니다.

오일러의 정리

다면체에서

$$
(면의 수)+(꼭짓점의 수)=(모서리의 수)+2
$$

입니다.

기호로 나타내면

$$
F+V=E+2
$$

입니다.

여기서

• F : 면의 수

• V : 꼭짓점의 수

• E : 모서리의 수

입니다.

7. 오일러의 정리 확인하기

정육면체

면의 수

$$
F=6
$$

꼭짓점의 수

$$
V=8
$$

모서리의 수

$$
E=12
$$

확인하면

$$
6+8=12+2
$$

$$
14=14
$$

가 되어 성립합니다.

8. 각기둥과 각뿔 비교

예제 1

다면체를 이루는 요소가 아닌 것은?

① 면

② 모서리

③ 꼭짓점

④ 반지름

풀이

다면체는 면, 모서리, 꼭짓점으로 이루어집니다.

정답

④

예제 2

다음 중 다면체가 아닌 것은?

① 정육면체

② 삼각기둥

③ 원기둥

④ 사각뿔

풀이

원기둥은 곡면을 가지고 있습니다.

따라서 다면체가 아닙니다.

정답

③

예제 3

어떤 다면체의 면의 수가

$$
7
$$

개, 꼭짓점의 수가

$$
10
$$

개이다.

모서리의 수를 구하여라.

풀이

오일러의 정리

$$
F+V=E+2
$$

를 이용하면

$$
7+10=E+2
$$

$$
17=E+2
$$

$$
E=15
$$

정답

$$
15
$$

개

예제 4

다음 중 정다면체가 아닌 것은?

① 정사면체

② 정육면체

③ 정팔면체

④ 삼각기둥

풀이

삼각기둥은 모든 면이 합동인 정다각형이 아닙니다.

정답

④

핵심 정리

• 다면체는 다각형인 면들로 둘러싸인 입체도형이다.

• 다면체를 이루는 요소는 면, 모서리, 꼭짓점이다.

• 곡면이 있는 원기둥, 원뿔, 구는 다면체가 아니다.

• 각기둥은 두 밑면이 서로 평행하고 합동인 입체도형이다.

• 각뿔은 한 개의 밑면과 여러 개의 삼각형 옆면으로 이루어진 입체도형이다.

• 정다면체는 5가지뿐이다.

• 오일러의 정리는

$$
F+V=E+2
$$

이다.

• 면의 수, 모서리의 수, 꼭짓점의 수 중 두 가지를 알면 나머지 하나를 구할 수 있다.