입체도형 – 입체도형의 부피

학습 목표

• 부피의 뜻을 이해할 수 있다.

• 부피의 단위를 알 수 있다.

• 직육면체와 정육면체의 부피를 구할 수 있다.

• 각기둥의 부피를 구할 수 있다.

• 원기둥의 부피를 구할 수 있다.

• 다양한 입체도형의 부피를 계산할 수 있다.

1. 부피란?

부피의 뜻

입체도형이 차지하는 공간의 크기를 부피라고 합니다.

예를 들어 물병에 물이 얼마나 들어가는지, 상자 안에 물건을 얼마나 담을 수 있는지를 나타내는 것이 부피입니다.

부피를 구하는 이유

부피를 알면

• 물건을 담을 수 있는 양

• 공간의 크기

• 용기의 용량

등을 계산할 수 있습니다.

2. 부피의 단위

부피는 세 방향의 길이를 곱하여 구하므로 세제곱 단위를 사용합니다.

기본 단위

$$
1cm^3
$$

는 한 변의 길이가

$$
1cm
$$

인 정육면체의 부피입니다.

여러 가지 부피 단위

$$
cm^3
$$

$$
m^3
$$

$$
km^3
$$

등이 있습니다.

용량과 부피

생활에서는 리터(L)도 사용합니다.

다음 관계를 기억해 둡시다.

$$
1L = 1000cm^3
$$

$$
1mL = 1cm^3
$$

3. 직육면체의 부피

직육면체

가로를

$$
a
$$

세로를

$$
b
$$

높이를

$$
h
$$

라고 합시다.

직육면체의 부피 공식

$$
부피 = 가로 \times 세로 \times 높이
$$

즉,

$$
V=abh
$$

입니다.

예시

가로

$$
5cm
$$

세로

$$
4cm
$$

높이

$$
3cm
$$

인 직육면체의 부피는

$$
V=5\times4\times3
$$

$$
=60
$$

정답

$$
60cm^3
$$

4. 정육면체의 부피

정육면체

모든 모서리의 길이가 같은 입체도형입니다.

한 모서리의 길이를

$$
a
$$

라고 합니다.

정육면체의 부피 공식

$$
V=a^3
$$

입니다.

예시

한 모서리의 길이가

$$
4cm
$$

일 때

$$
V=4^3
$$

$$
=64
$$

정답

$$
64cm^3
$$

5. 각기둥의 부피

각기둥의 구조

각기둥은

• 밑면

• 윗면

• 높이

로 이루어져 있습니다.

각기둥의 부피 공식

각기둥의 부피는

$$
부피 = 밑면의 넓이 \times 높이
$$

입니다.

공식

밑면의 넓이를

$$
S
$$

높이를

$$
h
$$

라고 하면

$$
V=Sh
$$

입니다.

예시

삼각기둥의 밑면의 넓이가

$$
12cm^2
$$

높이가

$$
5cm
$$

일 때

$$
V=12\times5
$$

$$
=60
$$

정답

$$
60cm^3
$$

6. 원기둥의 부피

원기둥

밑면이 원인 각기둥입니다.

밑면의 넓이

반지름이

$$
r
$$

이면

$$
\pi r^2
$$

입니다.

원기둥의 부피 공식

밑면의 넓이 × 높이이므로

$$
V=\pi r^2h
$$

입니다.

예시

반지름이

$$
3cm
$$

높이가

$$
5cm
$$

일 때

$$
V=\pi\times3^2\times5
$$

$$
=45\pi
$$

정답

$$
45\pi cm^3
$$

7. 부피 공식 비교

8. 부피를 구할 때 주의할 점

길이의 단위를 통일한다.

예를 들어

$$
1m = 100cm
$$

이므로 단위를 맞춘 후 계산해야 합니다.

세제곱 단위를 사용한다.

부피의 단위는 반드시

$$
cm^3
$$

또는

$$
m^3
$$

등으로 써야 합니다.

넓이와 부피를 구분한다.

넓이의 단위는

$$
cm^2
$$

이고

부피의 단위는

$$
cm^3
$$

입니다.

예제 1

가로

$$
6cm
$$

세로

$$
4cm
$$

높이

$$
5cm
$$

인 직육면체의 부피를 구하여라.

풀이

$$
V=6\times4\times5
$$

$$
=120
$$

정답

$$
120cm^3
$$

예제 2

한 모서리의 길이가

$$
7cm
$$

인 정육면체의 부피를 구하여라.

풀이

$$
V=7^3
$$

$$
=343
$$

정답

$$
343cm^3
$$

예제 3

밑면의 넓이가

$$
15cm^2
$$

높이가

$$
8cm
$$

인 각기둥의 부피를 구하여라.

풀이

$$
V=Sh
$$

$$
=15\times8
$$

$$
=120
$$

정답

$$
120cm^3
$$

예제 4

반지름이

$$
4cm
$$

높이가

$$
6cm
$$

인 원기둥의 부피를 구하여라.

풀이

$$
V=\pi r^2h
$$

$$
=\pi\times4^2\times6
$$

$$
=\pi\times16\times6
$$

$$
=96\pi
$$

정답

$$
96\pi cm^3
$$

예제 5

다음 중 부피의 단위가 아닌 것은?

①

$$
cm^3
$$

②

$$
m^3
$$

③

$$
L
$$

④

$$
cm^2
$$

풀이

$$
cm^2
$$

는 넓이의 단위입니다.

정답

④

핵심 정리

• 부피는 입체도형이 차지하는 공간의 크기이다.

• 부피의 단위는

$$
cm^3,\ m^3
$$

등의 세제곱 단위를 사용한다.

• 직육면체의 부피는

$$
V=abh
$$

이다.

• 정육면체의 부피는

$$
V=a^3
$$

이다.

• 각기둥의 부피는

$$
V=Sh
$$

이다.

• 원기둥의 부피는

$$
V=\pi r^2h
$$

이다.

• 부피를 구할 때는 단위를 통일하고 세제곱 단위를 사용해야 한다.

• 용량과 부피의 관계는

$$
1L=1000cm^3
$$

$$
1mL=1cm^3
$$

이다.