통계 – 도수분포다각형

학습 목표

• 도수분포다각형의 뜻을 이해할 수 있다.

• 계급값의 의미를 설명할 수 있다.

• 도수분포표를 이용하여 도수분포다각형을 그릴 수 있다.

• 도수분포다각형을 읽고 자료의 분포를 해석할 수 있다.

• 히스토그램과 도수분포다각형의 관계를 이해할 수 있다.

1. 도수분포다각형이란?

도수분포다각형의 뜻

도수분포다각형은 도수분포표를 바탕으로 계급값과 도수를 점으로 나타낸 후, 이 점들을 선분으로 이어 만든 그래프입니다.

자료의 분포를 선의 모양으로 나타내므로 전체적인 경향을 쉽게 파악할 수 있습니다.

왜 사용할까?

도수분포다각형을 사용하면

• 자료의 분포를 쉽게 알 수 있다.

• 여러 자료를 비교하기 쉽다.

• 변화의 경향을 파악하기 쉽다.

2. 계급값

계급값의 뜻

계급의 가운데 값을 계급값이라고 합니다.

도수분포다각형에서는 계급값을 사용하여 점을 찍습니다.

계급값 구하는 공식

$$
계급값

\frac{계급의 아래끝값 + 계급의 위끝값}{2}
$$

예제

계급이

$$
10 \sim 20
$$

이면

계급값은

$$
\frac{10+20}{2}
$$

$$
=15
$$

입니다.

3. 도수분포다각형 그리기

다음 도수분포표를 살펴봅시다.

1단계 : 계급값 구하기

2단계 : 점 찍기

가로축에는 계급값

세로축에는 도수를 나타냅니다.

따라서 다음 점들을 찍습니다.

$$
(5,\ 2)
$$

$$
(15,\ 5)
$$

$$
(25,\ 8)
$$

$$
(35,\ 4)
$$

$$
(45,\ 1)
$$

3단계 : 점들을 선분으로 연결하기

각 점을 차례대로 선분으로 연결합니다.

그러면 도수분포다각형이 완성됩니다.

4. 양 끝 점 연결하기

도수분포다각형은 보통 처음과 끝을 가로축과 만나도록 연결합니다.

예를 들어 계급의 크기가

$$
10
$$

이라면

첫 번째 계급값보다

$$
5
$$

만큼 작은 위치에서 시작하고,

마지막 계급값보다

$$
5
$$

만큼 큰 위치에서 끝납니다.

위의 예에서는

$$
(0,\ 0)
$$

과

$$
(50,\ 0)
$$

을 추가하여 연결합니다.

5. 도수분포다각형 읽기

다음 도수분포표를 생각해 봅시다.

가장 많은 자료가 있는 계급

도수가 가장 큰 계급을 찾습니다.

도수

$$
10
$$

이 가장 크므로

$$
20 \sim 30
$$

구간에 자료가 가장 많이 있습니다.

자료의 총 개수

도수의 합을 구합니다.

$$
3+6+10+5+2
$$

$$
=26
$$

따라서 자료는

$$
26
$$

개입니다.

6. 히스토그램과 도수분포다각형

히스토그램

직사각형의 높이로 도수를 나타냅니다.

도수분포다각형

계급값과 도수를 점으로 나타낸 후 선분으로 연결합니다.

관계

히스토그램의 각 직사각형 윗변의 가운데 점을 연결하면 도수분포다각형이 됩니다.

7. 도수분포다각형의 장점

자료 비교가 쉽다.

여러 개의 도수분포다각형을 한 그래프에 그려 비교할 수 있습니다.

전체적인 경향을 알기 쉽다.

분포의 모양을 쉽게 확인할 수 있습니다.

변화 상태를 쉽게 파악할 수 있다.

도수가 증가하는지 감소하는지 알 수 있습니다.

8. 도수분포다각형의 해석

도수분포다각형을 보면 다음을 알 수 있습니다.

자료가 집중된 구간

그래프가 가장 높게 올라간 부분입니다.

자료가 적은 구간

그래프가 가장 낮은 부분입니다.

분포의 모양

• 가운데에 집중되어 있는지

• 한쪽에 치우쳐 있는지

• 고르게 분포되어 있는지

알 수 있습니다.

예제 1

계급

$$
30 \sim 40
$$

의 계급값을 구하여라.

풀이

$$
\frac{30+40}{2}
$$

$$
=35
$$

정답

$$
35
$$

예제 2

다음 도수분포표에서 자료의 총 개수를 구하여라.

풀이

$$
2+4+7+5
$$

$$
=18
$$

정답

$$
18
$$

개

예제 3

도수분포다각형의 설명으로 옳은 것은?

① 계급값을 사용하지 않는다.

② 점들을 선분으로 연결한다.

③ 막대그래프와 같은 그래프이다.

④ 원래 자료를 모두 표시한다.

풀이

도수분포다각형은 계급값과 도수를 점으로 찍고 선분으로 연결하여 나타냅니다.

정답

②

예제 4

히스토그램과 도수분포다각형의 관계로 옳은 것은?

① 서로 관련이 없다.

② 히스토그램의 윗변 양 끝점을 연결한다.

③ 히스토그램의 윗변 가운데 점을 연결한다.

④ 히스토그램의 넓이를 연결한다.

풀이

도수분포다각형은 히스토그램 윗변의 가운데 점들을 연결하여 얻을 수 있습니다.

정답

③

핵심 정리

• 도수분포다각형은 계급값과 도수를 점으로 나타낸 후 선분으로 연결한 그래프이다.

• 계급값은 계급의 가운데 값이다.

$$
계급값

\frac{계급의 아래끝값 + 계급의 위끝값}{2}
$$

• 가로축에는 계급값, 세로축에는 도수를 나타낸다.

• 자료의 총 개수는 모든 도수의 합이다.

• 가장 높은 점이 있는 구간에 자료가 가장 많이 모여 있다.

• 히스토그램의 윗변 가운데 점들을 연결하면 도수분포다각형을 얻을 수 있다.

• 도수분포다각형은 여러 자료의 분포를 비교할 때 유용하다.