좌표평면과 두 점 사이의 거리

1. 학습 목표와 좌표의 언어

이 강의가 끝나면 두 점 사이의 거리 공식을 피타고라스 정리로 설명하고, 좌표가 문자로 주어진 문제와 도형의 성질을 판별하는 문제에 적용할 수 있어야 합니다.

• 점 \(P(x,y)\)에서 \(x\)는 원점으로부터의 가로 방향 위치, \(y\)는 세로 방향 위치를 나타냅니다.
• 순서쌍이므로 일반적으로 \((x,y)\)와 \((y,x)\)는 서로 다른 점입니다.
• 제1, 2, 3, 4사분면에서 좌표의 부호는 각각 \((+,+),(-,+),(-,-),(+,-)\)입니다.
• x축 위의 점은 \(y=0\), y축 위의 점은 \(x=0\), 원점은 \(O(0,0)\)입니다.

2. 거리 공식은 왜 성립할까?

두 점 \(A(x_1,y_1)\), \(B(x_2,y_2)\)에서 가로 방향으로 이동한 길이는 \(|x_2-x_1|\), 세로 방향으로 이동한 길이는 \(|y_2-y_1|\)입니다. 이 두 길이를 직각변으로 하는 직각삼각형을 만들면 \(AB\)가 빗변이 됩니다.

거리는 음수가 될 수 없으므로 마지막에 양의 제곱근을 택합니다. 두 점의 순서를 바꾸어도 각 차의 부호만 바뀌고 제곱값은 같으므로 \(AB=BA\)입니다.

7. 기본 풀이 절차

1. 두 점의 좌표를 정확히 읽고 가능하면 간단히 표시합니다.
2. x좌표끼리, y좌표끼리 같은 순서로 뺍니다.
3. 각 차를 제곱해 더합니다.
4. 길이가 필요하면 마지막에 제곱근을 취하고 근호를 간단히 합니다.
5. 미지수가 있으면 먼저 거리의 양변을 제곱하여 방정식을 만듭니다.
6. 결과가 0 이상인지, 그림에서 예상한 크기와 맞는지 확인합니다.

8. 대표 예제

예제 1: 일반적인 두 점

\(A(-2,3)\), \(B(4,-5)\)일 때

중점은 \(M(({-2+4})/2,({3-5})/2)=(1,-1)\)입니다.

예제 2: 축과 평행한 선분

\(C(-3,4)\), \(D(5,4)\)는 y좌표가 같으므로 \(CD=|5-(-3)|=8\)입니다.

예제 3: 거리가 주어진 미지수

\(P(t,1)\), \(Q(2,5)\) 사이의 거리가 5라면

한 거리 조건에서 좌우에 있는 두 점이 나올 수 있으므로 해를 하나만 쓰지 않도록 주의합니다.

예제 4: 두 점에서 같은 거리인 x축 위의 점

\(X(t,0)\)가 \(A(-2,3)\), \(B(4,1)\)에서 같은 거리에 있다고 하겠습니다. 제곱거리끼리 비교하면

제곱근을 먼저 만들지 않으면 계산이 훨씬 간결합니다.

예제 5: 삼각형의 종류 판별

\(A(0,0)\), \(B(4,0)\), \(C(2,2)\)에 대하여

\(AC=BC\)이고 \(AC^2+BC^2=AB^2\)이므로 이 삼각형은 \(C\)가 직각인 직각이등변삼각형입니다.

예제 6: 중점과 한 끝점으로 다른 끝점 찾기

\(A(-3,4)\), 중점 \(M(2,-1)\), 다른 끝점 \(B(x,y)\)에 대하여

9. 거리 공식으로 확인할 수 있는 성질

• 0 이상: \(AB\ge0\)이며, \(AB=0\)인 것은 두 점이 같을 때뿐입니다.
• 대칭성: 점의 순서를 바꾸어도 \(AB=BA\)입니다.
• 삼각부등식: 임의의 점 \(C\)에 대하여 \(AB\le AC+CB\)입니다. 두 점을 바로 잇는 선분이 가장 짧습니다.
• 평행이동 불변: 두 점에 같은 \((a,b)\)를 더해도 좌표의 차가 같으므로 거리는 변하지 않습니다.

10. 단위와 실제 상황

좌표 한 칸이 실제로 1 m가 아닐 수 있습니다. 지도에서 한 칸이 200 m라면 좌표로 구한 거리에 200 m를 곱해야 합니다. 서로 다른 축의 눈금 단위가 다르면 먼저 같은 실제 길이 단위로 변환한 뒤 피타고라스 정리를 적용합니다.

11. 자주 하는 실수

• x좌표와 y좌표를 교차하여 빼는 실수
• \(-5-3=-2\)처럼 음수의 뺄셈을 잘못 계산하는 실수
• \(\sqrt{a^2+b^2}=a+b\)로 잘못 바꾸는 실수
• 제곱근 안에서 제곱을 빠뜨리거나 마지막 제곱근을 잊는 실수
• 미지수 문제에서 \((t-a)^2=k\)의 두 해 중 하나를 빠뜨리는 실수
• 중점에서 좌표의 합을 2로 나누지 않거나 거리 공식과 혼동하는 실수
• 좌표 눈금의 실제 단위를 확인하지 않는 실수

12. 연습문제

(1) \(A(-1,3)\), \(B(5,-5)\) 사이의 거리와 중점을 구하세요.

(2) \(P(-4,2)\), \(Q(3,2)\) 사이의 거리를 구하세요.

(3) 점 \(R(6,-8)\)과 원점 사이의 거리를 구하세요.

(4) \(A(1,2)\), \(B(k,6)\) 사이의 거리가 5일 때 \(k\)를 모두 구하세요.

(5) 중점이 \(M(3,-2)\)이고 한 끝점이 \(A(-1,5)\)일 때 다른 끝점 \(B\)를 구하세요.

(6) \(A(-2,0)\), \(B(2,0)\)에서 같은 거리인 y축 위의 점 \(P(0,t)\)가 \(A\)에서 \(\sqrt{13}\)만큼 떨어져 있습니다. \(t\)를 모두 구하세요.

(7) 세 점 \(A(0,0)\), \(B(6,0)\), \(C(3,3\sqrt3)\)이 만드는 삼각형의 종류를 판별하세요.

(8) \(A(-1,2)\), \(B(3,5)\)를 모두 \((4,-2)\)만큼 평행이동한 점을 각각 \(A'\), \(B'\)라 할 때 \(AB\)와 \(A'B'\)를 비교하세요.

(9) 좌표 한 칸이 100 m인 지도에서 두 장소의 좌표가 \((1,2)\), \((7,10)\)입니다. 두 장소 사이의 직선거리를 구하세요.

(10) 점 \(P(x,y)\)가 원점에서 5만큼 떨어져 있을 때 \(x,y\)가 만족하는 식을 쓰고, \((3,4)\)가 그 식을 만족하는지 확인하세요.